DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов
Распространяется под лицензией LGPL v3
Страница проекта на GitHub.
Содержание
Вводные замечания
В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.
Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , длительности секунд следующих с периодом секунд, как это показано на рисунке 1
Единица измерения амплитуды сигнала зависит от физического процесса, который описывает сигнал . Это может быть напряжение, или, сила тока, или любая другая физическая величина со своей единицей измерения, которая меняется во времени как . При этом, единицы измерения амплитуд спектра , , будут совпадать с единицами измерения амплитуды исходного сигнала.
Тогда спектр , , данного сигнала может быть представлен как:
Свойства спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов
Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность. При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.
Используя скважность импульсов выражение (1) можно переписать в виде:
Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:
На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (пунктирная линия) и частотные соотношения огибающей и дискретного спектра .
Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения когда огибающая имеет отрицательные значения. Заметим, что и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости равной .
Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов
Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , следующих с периодом секунды и различной скважностью . На рисунке 3а показаны временные осциллограммы указанных сигналов, их амплитудные спектры (рисунок 3б), а также непрерывные огибающие спектров (пунктирная линия).
Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов уменьшается, огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (пунктирная линия). В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра .
Спектр смещенной во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов
Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая, когда исходный сигнал являлся симметричным относительно . В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1). Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала если мы сместим сигнал во времени,как это показано на рисунке 4 .
Смещенный сигнал можно представить как сигнал , задержанный на половину длительности импульса . Спектр смещенного сигнала можно представить согласно свойству циклического временного сдвига как:
Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель . Амплитудный и фазовый спектры показаны на рисунке 5.
Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала, но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.
Выводы
В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры спектров при различном значении скважности.
Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано, что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.
Отсюда спектр одиночной импульсной δ-функции Дирака находится из предыдущего, если:
B = 1/ 
при ® 0, то
Рассмотренные ранее спектры относятся к функциям, ограниченным во времени, т.к. для них требуется выполнение условия:
Спектр гармонического сигнала
Спектр гармонического сигнала x(t) = Хт cos(co/). Представив гармонический сигнал x(t) = Xmcos(w/) (рис. 1.12, а), где со =
в комплексной форме x(t) = Xme J( ° ot , согласно преобразованию Фурье спектр 5(со) можно записать
Из полученного выражения следует, что спектр гармонического сигнала (рис. 1.12, б) представляет собой две симметрично расположенные линии на частотах -со и со высотой (амплитудой) Хт.
Рис. 1.12. Гармонический сигнал: а — графическая модель; б — спектр
Спектр дельта-функции (функции Дирака).
Запишем сигнал x(t) как единичный импульс, умноженный на постоянный коэффициент: x(t) = Xmb(t). Согласно интегралу Фурье (1.20) с учетом фильтрующих свойств дельта-функции, находим
При Хт = 1 спектр дельта-функции постоянный (равномерный) на всей частотной оси 5(со) = 1 (рис. 1.13), т.е. содержит все частоты с одинаковой плотностью амплитуд.
Рис. 1.13. Дельта-функция: а — графическая модель; б — спектр
Взяв обратное преобразование, получим интегральное аналитическое выражение функции Дирака
Спектр функции включения
Спектр функции включения c(t) = 1(/- /и). Пусть x(t) = Xmo(t), тогда по преобразованию Фурье находим
Амплитудный спектр единичного скачка гиперболический (рис. 1.14)
Рис. 1.14. Функция включения: а — графическая модель; б — спектр
Значение спектра при со = 0 может быть получено предельным переходом. Вместе с тем из физических соображений ясно, что среднее значение функции Хевисайда (спектр на нулевой частоте) равно половине максимального значения, так что для циклической частоты
Спектр прямоугольного импульса.
Прямоугольный видеоимпульс является основой построения очень многих дискретных сигналов. Математическая модель прямоугольного импульса, расположенного симметрично относительно начала координат, с амплитудой — Хп
и продолжительностью ±— (рис. 1.15, а) запишется как 
Рис. 1.15. Прямоугольный импульс: а — графическая модель; б — спектр
Спектральная плотность сигнала (рис. 1.15, б)
Таким образом, спектр импульса комплексный. Для четных сигналов он содержит только действительную часть. Спектр обращается х , 2 кк
в ноль в точках со- = кк, откуда со =-. Для циклической частоты
/ = — в первом лепестке содержится 90% энергии сигнала, в двух х
лепестках — 95%. Считается, что для передачи сигнала практически без искажений необходимо обеспечить полосу пропускания
Af = —-. Значение спектральной плотности на нулевой частоте х
равно площади видеоимпульса 5(0) = Хтх. Чем уже импульс, т.е. чем меньше его протяженность х, тем шире расползается его спектральная плотность вдоль оси частот, тем больше вес высокочастотных составляющих в формировании такого импульса.
Спектр треугольного сигнала.
Аналитическое описание сигнала треугольной формы и его спектр, вычисленный по общему правилу преобразования Фурье, имеет вид (рис. 1.16)
Нули спектра имеют место в точках со =-
Рис. 1.16. Треугольный импульс: а — графическая модель; б — спектр
Спектр колоколообразного импульса.
Аналитическое описание гауссовского сигнала имеет вид x(t) = Хте
^ 1 (рис. 1.17). Известно, что Фурье-преобразование гауссовского сигнала приводит также к гауссовской функции. Следовательно, спектр такого сигнала:
Спектр экспоненциального затухающего импульса.
Аналитическое описание экспоненциального затухающего сигнала имеет вид
Рис. 1.17. Колоколообразный импульс: а — графическая модель; б — спектр
ш (рис. 1.18), где а — величина, обратная постоянной времени экспоненты. Применяя преобразование Фурье, находим спектр сигнала:
Рис. 1.18. Дельта функция: а — графическая модель; б — спектр
