Частичная сумма гармонического ряда

Частичная сумма гармонического ряда

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — В. М. Федосеев

Поводом для написания статьи послужила работа [1], в которой доказывается сходимость числового ряда, полученного из гармонического ряда Σ∞ =1 1 k k путём исключения элементов, в записи которых присутствует цифра «9». Результат этот является не новым и содержится в известном сборнике задач [2]. Нетрудно показать, что цифра «9» не занимает исключительного положения и ряды, полученные исключением элементов с другими цифрами, также будут сходящимися. Назовём частичным гармоническим рядом – ряд, полученный исключением элементов, содержащих в своей записи одну их цифр. Обозначение Sn означает сумму частичного гармонического ряда, запись элементов которого не содержит цифры n (n = 0,1,2,…,9). Поставим задачу об определении суммы ряда Sn .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — В. М. Федосеев

Текст научной работы на тему «Общая формула для сумм частичных гармонических рядов»

Общая формула для сумм частичных гармонических рядов

В.М. Федосеев ( rector@vmis.pti.ac.ru )

Пензенский технологический институт

Поводом для написания статьи послужила работа [1], в которой доказы-

вается сходимость числового ряда, полученного из гармонического ряда

путём исключения элементов, в записи которых присутствует цифра «9». Результат этот является не новым и содержится в известном сборнике задач [2].

Нетрудно показать, что цифра «9» не занимает исключительного положения и ряды, полученные исключением элементов с другими цифрами, также будут сходящимися. Назовём частичным гармоническим рядом — ряд, полученный исключением элементов, содержащих в своей записи одну их цифр. Обозначение Бп означает сумму частичного гармонического ряда, запись элементов которого не содержит цифры п (п = 0,1,2. 9). Поставим задачу об определении суммы ряда Бп .

2. Оценка суммы ряда

Очевидно, сходимость частичного гармонического ряда является медленной. По поручению автора Д.А. Крошечкин выполнил суммирование на компьютере 9 элементов ряда с исключённой цифрой «5» и получил значение 5,044195. В дальнейшем будет показано, что сумма этого ряда имеет величину порядка 21,86.

Рассмотрим ряд с исключенной цифрой «9». Он получается из гармонического ряда путем вычеркивания следующих последовательностей элементов:

а с1) =_1_• а (2) = У_1_• •

* 10к -Г * ¿=010(10^ -1) + г/’"’

* =0 10п-1 (10*-1) +10п-2 • ¿1 +. + шй_2 + ^ ‘7

При этом среди 10п первых элементов гармонического ряда содержится 10п-1 членов последовательности а*1, 10п-2 — ак1^, .,10 — а*п-1) и один эле-

мент последовательности ак .

Для элементов последовательностей (1) выполняются неравенства

0,9 п-1(5 + 4 •101-п) (п) 0,9п-1 0,9 п-1(5 + 4 •101-п) .

2- Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Примем во внимание неравенства

V-7 >£-7 = 0,0155 (т > 10), (4)

¿1(10* )2 к=1(10к )2 ‘ ^ и

V- -= 0,0168 (т > 10), (5)

*=110к (10к -1) *=110к (10к -1)

т 1 да 1 1 да ^ да

к=1 10к (10к -1) к=1 10к (10к -1) 100

V 10к(10* 1) 0,0017 • 0,9j-1 (5 + 4 • 101-j)+ 0,1 • 0,9j-1 • (C + (n — j)ln10),

AJ Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Из оценки (9) приходим к значению суммы частичного гармонического ряда Б9

Читайте также:  Воровство денег с банковских карт

£9 = 101п 10 — 0,102 ± 0,007 = 22,924 ± 0,007 . (10)

3. Общая формула суммы

Производя действия, которые привели к значению суммы Б9 , получим следующие оценки сумм других частичных гармонических рядов

S1 = 10ln10 — 6,869 ± 0,561,

S 2 = 10ln10 — 3,559 ± 0,395,

S 3 = 10ln10 — 2,492 ± 0,305,

S 4 = 10ln10 -1,694 ± 0,159,

S 5 = 10ln10 -1,181 ± 0,091,

S 6 = 10ln10 — 0,798 ± 0,063,

S 7 = 10ln10 — 0,514 ± 0,038,

S 8 = 10ln10 — 0,286 ± 0,023,

S 0 = 10ln10 + 0,074 ± 0,005.

Предположение о том, что общая формула для суммы частичных гармонических рядов существует, догадка о связи с постоянной Эйлера и методы аппроксимации функций позволили автору получить следующую формулу

Sn = 8ln10 — ln7 + ln60 • (ln n)c, (12)

n = 1,2. .,10, c = 0,577216 — постоянная Эйлера.

Формула (12) является обобщающей формулой для сумм частичных гармонических рядов. Значения, найденные по этой формуле полностью соответствуют оценкам (11). Заметим так же, что величина суммы S0 по формуле (12) определяется при n = 10.

Формула (12) претендует на «абсолютную» точность. Метод же её получения носит вычислительный, а отчасти и индуктивный характер, что конечно не является строгим доказательством.

В то же время поразительно точное совпадение со всеми оценками сумм частичных гармонических рядов вселяет уверенность в её правильности.

Было произведено вычисление суммы S0 с удвоенной точностью, которое

дало результат S0=23,100. Вычисления же по формуле (12) приводят к величине

S0 =23,1008. Отклонение значений находится в пределах погрешности определения S0 и дополнительно подтверждает правильность формулы (12).

1. High R. A look at the harmonic series — or what happened to the nines? // Mathematics and computer education, 1983. V. 17. №1. P. 38-39.

2. Полиа Г. Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть первая. — М.: Наука, 1978. -392с.

Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:

т.е. сумма всех чисел вида 1/n, где n — натуральное число, изменяющееся от нуля до бесконечности.

Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.

Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, нопредполагается чтосумма всех его членов расходится, т.е. что n-ное гармоническое число больше n-ного натурального. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число, представляющее собой только сумму n первых членов гармонического ряда.:

Некоторые значения частичных сумм ( например для случая 1 слагаемого и 5-ти первых членов):

S1 = 1; S5 = 137/60 = приблизительно 2,283

Теоретико-числовые свойства частичных сумм: для любых n > 1 сумма первых n членов рядаSn будет дробным числом.

Формула Эйлера

В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда. Теоретико-числовые свойства частичных сумм Для любых n>1

Сходимость ряда

Сходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с числами натурального ряда: очевидно, что частичная сумма каждых n первых членов не может превышать такое же натуральное число n, которое равно числу членов гармонического ряда.

Читайте также:  Акустика корвет 75ас 001

Рассмотрим известные доказательстване сходимости гармонического ряда

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемыетаким образом, чтобы сумма слагаемых в скобках была меньше 1/2. При этом получается ряд 1+1/2+1/2+. +1/2 +. :

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

В приведенном доказательстве проигнорирован очевидный факт: количество членов гармонического ряда строго равно количеству натуральных чисел (по определению). А при группировке членов ряда, для того чтобы получить 1/2 каждый раз в скобки объединялось все больше и большее количество членов гармонического ряда: 1, 2, 4, . т.е. 2^n соответственно.

Альтернативное доказательство расходимости

Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме S:

Тогда, перегруппируя дроби так, что в первую группу объединяются только 1 и дроби с нечетными знаменателями, а во вторую группу — только с четными, и когда вынесем из второй скобки 1/2 а потом заменим вторую скобку на S и перенеся S/2 в левую часть, а также подставив обратно вместо S сумму ряда, получим что сумма дробей с четными знаменателями равна сумме дробей с нечетными знаменателями +1. Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

Это равенство, также очевидно, может быть и верно, так как одна вторая больше одной третьей, одна четвёртая больше одной пятой, и так далее. Таким образом, необходимо также доказать, что сумма ряда: 1/2 — 1/3 + 1/4 — 1/5 + .

В данном доказательстве также не учитывается тот факт, что каждому натуральному числу взаимооднозначно соответствует только один член гармонического ряда.

Частичные суммы

n-ая частичная сумма гармонического ряда, т.е. сумма только первых n членов ряда

Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме 1, не является целым числом.

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд, состоящий из членов гармонического ряда, возведенных в степень меньше или равную 1, или в степень большую 1. Считается, что Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1.

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана от аргумента α.

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, дзета-функции Римана от аргумента α=2 равна числу пи в квадрате деленному на 6 , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Знакопеременный ряд

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью.

Эта формула — частный случай Ряд Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса, известного как ряд Лейбница.

Отметим, что если сходится гармонический ряд, то, естественно сходится и любой другой знакопеременный ряд, состоящий только из членов гармонического ряда.

Читайте также:  Intel security true key как удалить

Случайный гармонический ряд

Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел свойства случайного ряда, в котором числителислагаемых рядаsn независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что эта сумма с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от 1/8 на менее чем 10 −42 . Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.

«Истончённый» гармонический ряд

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу Примечания

ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД — числовой ряд Члены гармонического ряда стремятся к нулю однако гармонический ряд расходится … Большой Энциклопедический словарь

гармонический ряд — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN harmonic series … Справочник технического переводчика

гармонический ряд — числовой ряд Члены гармонического ряда стремятся к нулю, однако гармонический ряд расходится. * * * ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД, числовой ряд Члены гармонического ряда стремятся к нулю, однако гармонический ряд расходится … Энциклопедический словарь

гармонический ряд — harmoninė eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. harmonic series vok. harmonische Reihe, f rus. гармонический ряд, m pranc. série harmonique, f … Fizikos terminų žodynas

ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД — числовой ряд Каждый член Г. р. (начиная со второго) является гармоническим средним двух соседних (отсюда назв. Г. р.). Г. р. расходится (Г. Лейбниц, G. Leibniz, 1673), и его частные суммы растут как In п(Л. Эйлер, L. Euler, 1740): существует… … Математическая энциклопедия

Гармонический ряд — числовой Ряд Каждый член Г. р. (начиная со 2 го) является гармоническим средним (См. Гармоническое среднее) между двумя соседними (отсюда название Г. р.). Члены Г. р. стремятся к нулю, однако Г. р. расходится (Г. Лейбниц … Большая советская энциклопедия

ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД — числовой ряд 1+1/2 + 1/3+. +1/п+. Члены Г. р. стремятся к нулю, однако Г. р. расходится … Естествознание. Энциклопедический словарь

ГАРМОНИЧЕСКИЙ — (от гр. harmonia созвучия, согласие). Соответствующей законам гармонии; благозвучный, созвучный, согласный, соразмерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГАРМОНИЧЕСКИЙ благозвучный, согласный.… … Словарь иностранных слов русского языка

ГАРМОНИЧЕСКИЙ — ГАРМОНИЧЕСКИЙ, гармоническая, гармоническое (книжн.). 1. прил. к гармония в 1 знач.; основанный на принципах гармонии (муз.). Гармонический стиль в музыке. Гармоническое построение. 2. (в качестве кратк. употр. гармоничен, гармонична, гармонично) … Толковый словарь Ушакова

ряд — а (с числительными: два, три, четыре ряда), предл. в ряде и в ряду; мн. ряды; м. 1. предл.: в ряду. Совокупность однородных предметов, расположенных друг за другом, в одну линию. Ровный ряд зубов. Светящиеся ряды окошек. Сажать свёклу рядами.… … Энциклопедический словарь

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector