Формой представления действительных (или вещественных) чисел, где они хранятся как мантисса и показатель степени, являются числа с плавающей запятой (может быть, и точкой, как принято в англоязычных странах). Несмотря на это, число снабжено фиксированной относительной точностью и изменяющейся абсолютной. Представление, которое используется наиболее часто, утверждено стандартом IEEE 754. Математические операции, где используются числа с плавающей запятой, реализуются в вычислительных системах — как аппаратной, так и программной.
Точка или запятая
В подробном списке Decimal separator указаны те англоязычные и англофицированные страны, где в записях чисел дробная часть отделяется от целой части точкой, и потому терминологией этих стран принято название floating point — "плавающая точка". В Российской Федерации дробная часть от целой по традиции отделяется запятой, поэтому обозначает это же понятие исторически признанный термин "числа с плавающей запятой". Тем не менее, сегодня в технической документации и в русскоязычной литературе вполне допускаются оба эти варианта.
Термин "числа с плавающей запятой" произошёл от того, что позиционное представление числа представляет запятую (обычную десятичную или двоичную — компьютерную), которая может поместиться где угодно среди цифр строки. Такую её особенность обязательно оговаривают отдельно. Это значит, что представление чисел с плавающей запятой можно рассматривать как компьютерную реализацию экспоненциальной записи числа. Преимуществом использования такого представления над представлением формата с фиксированной запятой и целыми числами в том, что диапазон значений прирастает существенно при том, что относительная точность остаётся неизменной.
Пример
Если запятая в числе фиксированная, то записать его можно только одним форматом. Например, дано шесть разрядов целого в числе и два разряда в дробной части. Это можно сделать только таким образом: 123456,78. Формат чисел с плавающей запятой даёт полный простор для выражения. Например, даны те же самые восемь разрядов. Вариантов записи может быть сколько угодно, если программист не манкирует обязанностью завести двухразрядное дополнительное поле, где будет записывать показатели степени, которые обычно 10, от 0 и до 16, а разрядов при этом общим числом будет десять: 8+2.
Некоторые варианты записи, которые позволяет формат чисел с плавающей запятой: 12345678000000000000; 0,0000012345678; 123,45678; 1,2345678 и так далее. У данного формата есть даже единица измерения скорости! Вернее, быстродействия вычислительной системы, которая фиксирует скорость, с которой компьютер выполняет операции, где присутствует представление чисел с плавающей запятой. Измеряется это быстродействие в единицах FLOPS (floating-point operations per second, что переводится как количество операций в секунду с числами с плавающей запятой). Эта единица является основной в измерении скорости вычислительной системы.
Структура
Записать число в формате с плавающей запятой нужно следующим образом, соблюдая последовательность обязательных частей, поскольку эта запись является экспоненциальной, где представлены действительные числа как мантисса и порядок. Это необходимо для представления слишком больших и слишком малых чисел, их гораздо удобнее читать. Обязательные части: записываемое число (N), мантисса (M), знак порядка (p) и порядок (n). Два последних знака образуют характеристику числа. Значит, N = M . n p . Так записываются числа с плавающей запятой. Примеры будут разнообразны.
1. Нужно записать числом один миллион так, чтобы не запутаться в нулях. 1000000 — это нормальная запись, арифметическая. А компьютерная выглядит так: 1,0 . 10 6 . То есть, десять в шестой степени — три знака, в которые поместились целых шесть нулей. Таким образом и происходит представление чисел с фиксированной и плавающей запятой, где сразу же можно обнаружить различия в написании.
2. А такое трудное число, как 1435000000 (один миллиард четыреста тридцать пять тысяч) тоже просто может быть записано: 1,435 . 10 9 , всего лишь. Так же и со знаком минус можно записать любое число. Вот этим и отличаются друг от друга числа с фиксированной и плавающей запятой.
Но это большие числа, как быть с малыми? Да тоже легко.
3. Например, как обозначить одну миллионную? 0,000001 = 1,0 . 10 -6 . Значительно облегчаются и написание числа, и его прочтение.
4. А посложнее? Пятьсот сорок шестая миллиардная: 0,000000546 = 546 . 10 -9 . Вот. Диапазон представления чисел с плавающей запятой очень широк.
Форма
Форма числа может быть нормальной или нормализованной. Нормальная — всегда соблюдает точность чисел с плавающей запятой. Нужно отметить, что мантисса в этой форме, не учитывая знак, находится на половине интервала: 0 1, значит, 0 ⩽ a . 10 2 = 0,00001 . 10 1 = 0,0001 . 10 0 = 0,001 . 10 -1 = 0,01 . 10 -2 и так можно ещё много. Именно поэтому в информатике используется другая, нормализованная форма записи, где мантисса десятичных чисел принимает значение от единицы (включительно) и таким образом до десяти (не включительно), и таким же образом мантисса двоичных чисел принимает значение от единицы (включительно) до двойки (не включительно).
Значит, 1 ⩽ a . 2 2 , а Y = 1,000 . 2 0 .
б) Продолжить процесс сложения можно, только уравняв экспоненты, а для этого нужно переписать значение Y. Оно будет соответствовать значению нормализованного числа, хотя фактически — денормализуется.
Вычислить разность экспонент степени 2 — 0 = 2. Теперь сдвинуть мантиссу для компенсации этих изменений, то есть добавить 2 к показателю второго слагаемого, сдвинув таким образом запятую скрытой единицы на два пункта влево. Получается 0,0100 . 2 2 . Это и будет эквивалент прежнему значению Y, то есть уже Y’.
в) Теперь нужно сложить мантиссы числа Х и скорректированного Y.
Экспонента всё ещё равна представленному показателю Х, которая равна 2.
г) Сумма, полученная на предыдущем этапе, сместила единицу нормализации, значит, нужно сдвинуть экспоненту и суммирование повторить. 10,0 с двумя битами слева от запятой, теперь число нужно нормализовать, то есть, переместить запятую влево на один пункт, а экспоненту соответственно увеличить на 1. Получается 1,000 . 2 3 .
д) Пришла пора конвертировать число с плавающей запятой в однобайтную систему.
| Сумма | Знак | Экспонента | Мантисса |
| X + Y | 1010 | 000 |
Вывод
Как видно, складывать такие числа не слишком сложно, ничего, что запятая плавает. Если, конечно, не считать приведение числа с меньшей экспонентой к числу с большей (в приведённом примере это были Y к Х), а также восстановление статус-кво, то есть выдача компенсации — передвижение запятой мантиссы влево. Когда сложение уже произведено, очень возможна и ещё одна сложность — перенормирование и усечение бит, если их количество не соответствует формату числа для его представления.
Умножение
Двоичная система счисления предлагает два способа, с помощью которых производится умножение чисел с плавающей запятой. Эта задача может быть выполнена умножением, которое начинается с младших разрядов и которое начинается со старших разрядов в множителе. Оба случая содержат целый ряд операций, последовательно складывающий частные произведения. Эти операции сложения управляются разрядами множителя. Значит, если в одном из разрядов множителя есть единица, то сумма частных произведений прирастает множимым с соответственным сдвигом. А если в разряд множителя прокрался ноль, тогда множимое не прибавляется.
Если производится умножение просто двух чисел, то цифры произведения в своём количестве не могут превышать количество цифр, содержащихся в сомножителях, более чем в два раза, и при больших числах это очень и очень много. Если же умножается несколько чисел, то произведение рискует не поместиться на экран. Потому число разрядов любого цифрового автомата является вполне конечным, и это вынуждает ограничиться как максимум удвоенным количество цифр сумматоров. А если количество разрядов ограничивается, в произведение неизбежно вносится погрешность. Если же объём вычислений велик, то погрешности накладываются, и в результате сильно возрастает общая погрешность. Здесь единственный выход — округлить результаты умножения, тогда погрешность произведения получится знакопеременной. Когда выполняется операция умножения, появляется возможность выйти за пределы сетки разрядов, но только со стороны младших, поскольку действует ограничение, наложенное на числа, которые представлены в форме с запятой фиксированной.
Некоторые пояснения
Начать лучше сначала. Самый распространённый путь представления числа — строкой цифр как целое число, где запятая подразумевается в самом конце. Строка эта может быть хоть какой длины, а запятая стоит в самом нужном для неё месте, отделяя целое число от дробной части его. Формату представления числа с фиксированной запятой система обязательно ставит определённые условия по поводу местоположения запятой. Экспоненциальная запись пользуется стандартным нормализованным видом представления чисел. Это a q n <displaystyle aq^
Число с плавающей запятой очень похоже записывается на всем понятную стандартную запись чисел, только экспонента и мантисса записаны отдельно. Последняя к тому же и в нормализованном формате — с фиксированной запятой, которая украшает первую значащую цифру. Просто плавающая запятая используется в основном в компьютерном, то есть в электронном представлении, где система не десятичная, а двоичная, где даже мантисса денормализована переставлением запятой — теперь она перед первой цифрой, значит, до, а не после неё, там, где целой части в принципе может не быть. Например, наша родная десятичная система отдаст свою девятку двоичной системе на временное пользование. А та и запишет её мантиссой с плавающей запятой вот так: +1001000. 0, а к ней и показатель +0. 0100. Зато десятичная система не сумеет производить такие сложные вычисления, какие возможны в двоичной, используя форму с плавающей запятой.
Длинная арифметика
В электронных вычислительных машинах есть встроенные программные пакеты, где выделенный под мантиссу и показатель степени объём памяти задан программно, ограничиваясь лишь величиной памяти ЭВМ. Так выглядит длинная арифметика, то есть простые операции над числами, которые выполняет вычислительная машина. Это всё те же — вычитание и сложение, деление и умножение, элементарные функции и возведение в корень. Но только числа совсем другие, их разрядность может значительно превышать длину машинного слова. Реализация таких операций происходит не аппаратным путём, а программным, но широко используются базовые аппаратные средства в работе с числами значительно меньших порядков. Существует ещё и арифметика, где длина чисел ограничивается единственно объёмом памяти — произвольной точности арифметика. А длинную арифметику применяют во многих областях.
1. Для составления кода (процессоры, микроконтроллеры с низкой разрядностью — в 10 бит и восьмибитными регистрами разрядности, этого явно недостаточно, чтобы обрабатывать информацию с Analog-to-digital (Аналого-цифровой преобразователь), а потому не обойтись без длинной арифметики.
2. Также длинная арифметика используется для криптографии, где нужно обеспечение точности результата возведения в степень или умножения до 10 309 . Целочисленная арифметика используется по модулю m — большого натурального числа, и вовсе не обязательно простого.
3. Программное обеспечение для финансистов и математиков тоже не обходится без длинной арифметики, потому что только так можно сверить результаты вычислений на бумаге — с помощью компьютера, обеспечивая высокую точность чисел. Плавающей запятой они могут привлекать сколько угодно длинную разрядность. А вот инженерные расчёты и работа учёных достаточно редко требуют вмешательства программных вычислений, потому что очень сложно внести входные данные, не допустив ошибок. Обычно они гораздо объёмнее, чем результаты округления.
Борьба с погрешностями
При операциях с числами, в которых плавает запятая, очень сложно оценивать погрешность результатов. Пока не придумано удовлетворяющей всех математической теории, которая помогла бы решить этот вопрос. А вот погрешности с целыми числами оценить легко. Возможность избавления от неточностей лежит на поверхности — просто использовать только числа с запятой фиксированной. Например, финансовые программы построены именно по этому принципу. Однако там проще: необходимое количество разрядов после запятой заранее известно.
Другие приложения не могут ограничиться этим, потому что невозможна работа ни с очень малыми, ни с очень большими числами. Поэтому при работе всегда учитывается, что неточности возможны, и потому при выводе результатов нужно обязательно округлять. Причём, автоматическое округление зачастую является действием недостаточным, а поэтому округление задаётся специально. Очень опасна в этом отношении операция сравнения. Здесь даже оценить размер будущих погрешностей чрезвычайно сложно.
Число с плавающей запятой (или число с плавающей точкой) — экспоненциальная форма представления вещественных (действительных) чисел, в которой число хранится в виде мантиссы и порядка (показателя степени). При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Используемое наиболее часто представление утверждено в стандарте IEEE 754. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.
Содержание
«Плавающая запятая» и «плавающая точка» [ править | править код ]
Так как в некоторых, преимущественно англоязычных и англофицированных странах при записи чисел целая часть отделяется от дробной точкой, то в терминологии этих стран фигурирует название «плавающая точка» (англ. floating point ). Так как в России целая часть числа от дробной традиционно отделяется запятой, то для обозначения того же понятия исторически используется термин «плавающая запятая», однако в настоящее время в русскоязычной литературе и технической документации можно встретить оба варианта.
Происхождение названия [ править | править код ]
Название «плавающая запятая» происходит от того, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая — далее по тексту просто запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение запятой указывается отдельно во внутреннем представлении. Таким образом, представление числа в форме с плавающей запятой может рассматриваться как компьютерная реализация экспоненциальной записи чисел.
Преимущество использования представления чисел в формате с плавающей запятой над представлением в формате с фиксированной запятой (и целыми числами) состоит в том, что можно использовать существенно больший диапазон значений при неизменной относительной точности. Например, в форме с фиксированной запятой число, занимающее 6 разрядов в целой части и 2 разряда после запятой, может быть представлено в виде 123 456,78 . В свою очередь, в формате с плавающей запятой в тех же 8 разрядах можно записать числа 1,2345678 ; 1 234 567,8 ; 0,000012345678 ; 12 345 678 000 000 000 и так далее, но для этого необходимо иметь дополнительное двухразрядное поле для записи показателей степени основания 10 от 0 до 16, при этом общее число разрядов составит 8+2=10.
Скорость выполнения компьютером операций с числами, представленными в форме с плавающей запятой, измеряется во FLOPS (от англ. floating-point operations per second — «[количество] операций с плавающей запятой в секунду»), и является одной из основных единиц измерения быстродействия вычислительных систем.
Структура числа [ править | править код ]
Число с плавающей запятой состоит из следующих частей:
- знак мантиссы (указывает на отрицательность или положительность числа),
- мантисса (выражает значение числа без учёта порядка),
- знак порядка,
- порядок (выражает степень основания числа, на которое умножается мантисса).
Нормальная и нормализованная формы [ править | править код ]
Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0 1), то есть 0 ⩽ a .
Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать как 0,000001⋅10 2 , 0,00001⋅10 1 , 0,0001⋅10 0 , 0,001⋅10 −1 , 0,01⋅10 −2 и так далее), поэтому распространена (особенно в информатике) также другая форма записи — нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (исключительно), то есть 1 ⩽ a (аналогично мантисса двоичного числа принимает значения от 1 до 2). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0.
Старший разряд (целая часть числа) мантиссы двоичного числа (кроме 0) в нормализованном виде равен 1 (так называемая неявная единица ), поэтому при записи мантиссы числа в ЭВМ старший разряд можно не записывать, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого свойства нет.
Способы записи [ править | править код ]
При ограниченных возможностях оформления (например, отображение числа на семисегментном индикаторе), а также при необходимости обеспечить быстрый и удобный ввод чисел, вместо записи вида m · b e ( m — мантисса; b — основание, чаще всего 10; e — экспонента), записывают лишь мантиссу и показатель степени, разделяя их буквой «E» (от англ. exponent ). Основание при этом неявно полагают равным 10. Например, число 1,528535047⋅10 −25 в этом случае записывается как 1.528535047E-25.
Краткий обзор [ править | править код ]
Существует несколько способов того, как строки из цифр могут представлять числа:
- Наиболее распространённый путь представления значения числа из строки с цифрами — в виде целого числа — запятая (radix point) по умолчанию находится в конце строки.
- В общем математическом представлении строка из цифр может быть сколь угодно длинной, а положение запятой обозначается путём явной записи символа запятой (или, на Западе, точки) в нужном месте.
- В системах с представлением чисел в формате с фиксированной запятой существует определённое условие относительно положения запятой. Например, в строке из 8 цифр условие может предписывать положение запятой в середине записи (между 4-й и 5-й цифрой). Таким образом, строка «00012345» обозначает число 1,2345 (нули слева всегда можно отбросить).
- В экспоненциальной записи используют стандартный (нормализованный) вид представления чисел. Число считается записанным в стандартном (нормализованном) виде, если оно записано в виде a q n <displaystyle aq^
> , где a <displaystyle a>
- Запись в форме с плавающей запятой похожа на запись чисел в стандартном виде, но мантисса и экспонента записываются раздельно. Мантисса записывается в нормализованном формате — с фиксированной запятой, подразумеваемой после первой значащей цифры. Возвращаясь к примеру с Ио, запись в форме с плавающей запятой будет 152853,5047 с показателем 5. Это означает, что записанное число в 10 5 раз больше числа 1,528535047, то есть для получения подразумеваемого числа запятая сдвигается на 5 разрядов вправо. Однако, запись в форме с плавающей запятой используется в основном в электронном представлении чисел, при котором используется основание системы счисления 2, а не 10. Кроме того, в двоичной записи мантисса обычно денормализована, то есть запятая подразумевается до первой цифры, а не после, и целой части вообще не имеется в виду — так появляется возможность и значение 0 сохранить естественным образом. Таким образом, десятичная 9 в двоичном представлении с плавающей запятой будет записана как мантисса +1001000…0 и показатель +0…0100. Отсюда, например, беды с двоичным представлением чисел типа одной десятой (0,1), для которой двоичное представление мантиссы оказывается периодической двоичной дробью — по аналогии с 1/3, которую нельзя конечным количеством цифр записать в десятичной системе счисления.
Запись числа в форме с плавающей запятой позволяет производить вычисления над широким диапазоном величин, сочетая фиксированное количество разрядов и точность. Например, в десятичной системе представления чисел с плавающей запятой (3 разряда) операцию умножения, которую мы бы записали как
0,12 × 0,12 = 0,0144
в нормальной форме представляется в виде
(1,20⋅10 −1 ) × (1,20⋅10 −1 ) = (1,44⋅10 −2 ).
В формате с фиксированной запятой мы бы получили вынужденное округление
0,120 × 0,120 = 0,014.
Мы потеряли крайний правый разряд числа, так как данный формат не позволяет запятой «плавать» по записи числа.
Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой [ править | править код ]
Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 1 бит знак + 52 бита, показатель — 1 бит знак + 10 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от 4,94⋅10 −324 до 1.79⋅10 308 (от 2 −52 × 2 −1022 до
1 × 2 1024 ). В стандарте IEEE 754 несколько значений данного типа зарезервировано для обеспечения возможности представления специальных значений. К ним относятся значения NaN (Not a Number, «не число») и +/-INF (Infinity, бесконечность), получающихся в результате операций деления на ноль или при превышении числового диапазона. Также сюда попадают денормализованные числа, у которых мантисса меньше единицы. В специализированных устройствах (например, GPU) поддержка специальных чисел часто отсутствует. Существуют программные пакеты, в которых объём памяти, выделенный под мантиссу и показатель, задаётся программно и ограничивается лишь объёмом доступной памяти ЭВМ (см. Арифметика произвольной точности).
| Точность | Одинарная | Двойная | Расширенная |
|---|---|---|---|
| Размер (байты) | 4 | 8 | 10 |
| Число десятичных знаков |
19.2
- S — знак, E — показатель степени, I — целая часть, F — дробная часть
- Так же, как и для целых, знаковый бит — старший.
Машинный эпсилон [ править | править код ]
В отличие от чисел с фиксированной запятой, сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей запятой, неравномерна: она более густая для чисел с малыми порядками и более редкая — для чисел с большими порядками. Но относительная погрешность записи чисел одинакова и для малых чисел, и для больших. Машинным эпсилоном называется наименьшее положительное число ε такое, что 1 ⊕ ε ≠ 1 <displaystyle 1oplus varepsilon
eq 1>
Для одинарной точности ε = 2 − 24 ≈ 5 , 96 ⋅ 10 − 8 <displaystyle varepsilon =2^<-24>approx 5,96cdot 10^<-8>>
Цель работы: изучить форматы представления чисел с плавающей запятой, научиться оценивать погрешности представления чисел с плавающей запятой и накапливаемую погрешность при операциях с этими числами.
Запись дробей, очень больших и очень маленьких чисел
В физике, астрономии, химии для записи очень больших и очень маленьких по модулю чисел используют полулогарифмическую форму. Например, расстояние от Земли до Солнца удобнее записывать не в виде
Общая формула для полулогарифмического представления чисел имеет вид:
Многие физические величины практически можно записать только в полулогарифмической форме, например, масса электрона равна
Формат числа с плавающей запятой в ЭВМ
Для записи числа в полулогарифмической форме в память ЭВМ примем
Число, мантисса которого удовлетворяет условию 2, называется нормализованным.
Так как основание степени в ЭВМ никогда не меняется, то его в ячейку памяти записывать не нужно. Простейший 32-разрядный формат числа с плавающей запятой имеет вид:
| ± | | | | | | | | ± | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
В разряды 0 — 7 записывается порядок числа. В разряде 0 — знак порядка.
В разряды с 8-го по 31-й помещается мантисса. В 8-м разряде — знак мантиссы.
Представим в форме с плавающей запятой число x = 12.510 = 1100.12. В нормализованном виде
В 32-разрядной ячейке памяти число x выглядит так:
| 0000100 | 110010 . . . . . . . . . . . . . . 0 |
Самое большое число с плавающей запятой определяется характеристикой
При s = 2 и pmax= 2 7 = 127
Количество двоичных знаков в числе x определяется количеством разрядов в мантиссе. В рассматриваемом 32-разрядном формате длина мантиссы
количество десятичных знаков
Погрешности чисел с плавающей запятой
Точно в формате с плавающей запятой представляется число, модуль которого можно записать в виде следующей несократимой дроби:
Может показаться неожиданным, что 0,1 (одна десятая) не может быть представлена точно в формате с плавающей запятой, а 0,25 – представима.
Целое число N не имеет погрешности в формате с плавающей запятой, если
1. оно не выходит из диапазона представимости, например, в рассмотренном выше 32-разрядном формате должно быть N 38 ;
2. в двоичном виде номер самого младшего разряда, содержащего единицу, меньше или равен числу разрядов в мантиссе. Например, N=2 33 представляется точно, а N=2 33 -1, как показано в приведённом ниже примере, имеет погрешность.
Теория погрешностей вычислений в формате с плавающей запятой очень сложна. Ниже приводятся лишь примеры возникновения таких погрешностей.
Для простоты рассмотрим семибитный формат числа с плавающей запятой:
| ± | | | ± | | | |
В этом формате при значении порядка p = 0 точно представимы только 4 числа: 1/2=4/8; 5/8; 6/8 и 7/8. В памяти ЭВМ эти числа хранятся так:
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
|---|
Разместим эти числа на числовой оси:
Все числа, заключённые между 1/2 и 5/8 в выбранном нами формате не могут быть представлены точно. Они будут округлены либо в меньшую сторону до 1/2, либо в большую до 5/8. Попытаемся представить в выбранном формате 9/16 =(0.1001)2:
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
|---|
Младший разряд вышел за пределы формата и вместо 9/16 в памяти ЭВМ будет храниться 8/16. В общем случае погрешность представления числа с плавающей запятой
На прктике для представления чисел с плавающей запятой чаще всего используются машинные слова длиной либо 32 либо 64 бита. Запишем в 32-разрядное слово число х = 2 33 — 1. В двоичной системе счисления — это число из 33-х единиц. Найдём мантиссу и порядок этого числа в нормализованном виде:
Для того чтобы не теряя точности разместить это число, требуется слово длиною 41 бит (7 бит под порядок и 34 бита под мантиссу). Разместив это число в 32-битном формате с 24-разрядной мантиссой, считая знак, мы потеряем 10 значащих цифр исходного числа х:
| 0|1|0|0|0|0|1 | 1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1|1 |
Вычислим погрешность числа х в 32-разрядном двоичном формате с плавающей запятой:
В десятичной системе счисления
т.е. в форме с длавающей запятой точно представлены только 6 старших разрядов исходного числа. Все числа в диапазоне 8 589 933 568 ≤ x ≤ 8 589 934 591 в 32-разрядном двоичном формате с плавающей запятой будут представлены одним числом 8 589 933 568.
Можно оценить погрешность представления числа N в формате с плавающей запятой без перевода из десятичной системы счисления в двоичную. Для простоты рассмотрим пример, в котором мантисса в формате с плавающей запятой имеет семь двоичных разрядов, а N=1030. В двоичном представлении N имеет 11 разрядов:
Так как мантисса имеет семь разрядов, то из числа N при записи в ячейку будут отброшены 11 – 7 = 4 разряда. Далее
- разделим N на 2 4 : 1030/16 = 64,375;
- вычислим погрешность: Δ = 0,375×16 = 6.
Проверим результат прямым переводом N в двоичную систему счисления:
| 1|0|1|1 | 1|0|0|0|0|0|0 |
Переведём полученное число с плавающей запятой в десятичную систему счисления:
Погрешности возникают и при арифметических операциях над числами с плавающей запятой. Сложив на ЭВМ 8-значное целое десятичное число N с единицей, используя 32-разрядный двоичный формат с плавающей запятой, получим
так как восьмая, младшая цифра числа N не попадает в мантиссу.
Чтобы проще представить исчезновение единицы при сложении, рассмотрим вместо записи в двоичной системе счисления пример с десятичными числами, представленными в полулогорифмической форме с 7-разрядной мантиссой:
N и N+1 в полулогарифмической форме с семью знаками выглядят одинаково, так как погрешность превышает величину изменения числа. При сложении чисел в форме с плавающей запятой может нарушаться сочетательный (ассоциативный) закон:
В первом приближении можно считать, что если
Примеры сложения чисел в 32-разрядном двоичном формате с плавающей запятой из-за большого количества разрядов теряют свою наглядность, поэтому рассмотрим сложение чисел в 8-битном формате с 4-битной мантиссой. Сложим 8 и 1:
| 8 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Для сложения нужно сдвинуть вправо мантиссу меньшего по модулю слагаемого на число разрядов, равное разности порядков складываемых чисел. В нашем примере нужно сдвинуть мантиссу единицы на 4-1=3 разряда:
| 8 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| + 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Нужно сдвинуть мантиссу трёх на 2 разряда.
| 3 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
|---|
Погрешность возникает и при представлении дробей, знаменатель которых содержит простые множители, отличные от двух, например:
