Что значит пространственный четырехугольник

Что значит пространственный четырехугольник

Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №43
к главе «Глава I Параллельность прямых и плоскостей. §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.».

* Четырехугольник называется пространственным, если его вершины не лежат в одной плоскости.

Соединим все вершины пространственного четырехугольника.

НЕ — средняя линия ΔBAD,

GH — средняя линия

EF — средняя линия

4-угольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом, следовательно, EFGH -параллелограмм (из параллельности сторон также следует, что четырехугольник плоский).

Пространственный четырехугольник

Пространственный четырехугольник описан около сферы. [1]

В случае пространственного четырехугольника можно показать, что существуют сферы, касающиеся самих сторон, а не их продолжений. [2]

Около сферы описан пространственный четырехугольник . [3]

Рассмотрим теперь некоторый пространственный четырехугольник K . LNM ( рис. 9 — 4, б), построенный на двух взаимно перпендикулярных проводниках KL и MN, не лежащих в одной плоскости. [4]

Легко заметить, что пространственный четырехугольник ABCD представляет силовой многоугольник, построенный на силах Pj, P2 и Р3, причем диагональ параллелепипеда AD есть замыкающая сторона. [5]

Отсюда следует, что существует замкнутый пространственный четырехугольник A B CJ), стороны которого таковы, что A1Bix, B1C1 y C1D1 z, DlAl — t, и, следовательно, сумма площадей трех любых граней тетраэдра ABCD больше площади четвертой грани. [6]

Доказать, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. [7]

Показать, что в этом случае всякий пространственный четырехугольник , две противоположные вершины которого лежат на окружности С, а две другие — на окружности С, обладает тем свойством, что произведение одной пары его противоположных сторон равно произведению сторон другой пары. [8]

Точки К, L, М и N сторон пространственного четырехугольника ARCD удовлетворяют условиям BK BL, CL CM, f M DN и ANAK. Но плоскость Р перпендикулярна к отрезку NK ( вытекает из того, что ANAK) и, следовательно, перпендикулярна к плоскости KLMN. Плоскости О, R и S также перпендикулярны по аналогичным причинам к плоскости KLMN. Так как плоскости Р, Q, R и S имеют общую точку О и перпендикулярны к плоскости KLMN, то они проходят через одну прямую. [9]

Читайте также:  Mail merge как пользоваться word

Прямые, которые соединяют две точки, взятые на двух смежных сторонах пространственного четырехугольника , с точками, делящими соответственно в тех же отношениях стороны, противоположные первым, пересекаются; отрезок каждой из этих прямых, заключенный между сторонами четырехугольника, делится другой прямой в том же отношении, как и те стороны, которых первая прямая не пересекает. [10]

Итак, существует, вообще говоря, восемь шаров, касающихся всех сторон пространственного четырехугольника или их продолжений. [11]

Пусть требуется найти шар, касающийся четырех сторон АВ, ВС, CD и DA пространственного четырехугольника или их продолжений, иначе говоря, шар, касающийся четырех прямых АВ, ВС, CD и DA, не лежащих в одной плоскости. Будем называть такой шар для краткости касательным шаром и обозначим его центр через О. [12]

Покажем прежде всего, что при этом условии существует точка, равноудаленная от всех сторон пространственного четырехугольника ABCD и от прямой АС. [13]

Во втором случае, когда опорные точки каркаса соединяют кривыми линиями ( рис. 161, в), криволинейный пространственный четырехугольник , состоящий из четырех соединенных дуг различной конфигурации, можно затянуть гладкой поверхностью. Граничные дуги стягивают хордами. Для некоторой текущей точки М строят координатные плоскости х XM и у УМ и в них-трапеции. Нижние стороны трапеций пересекаются в точке S. [14]

Интересно отметить, что в этой теореме можно считать любой четырехугольник даже пространственным четырехугольником , у которого пары прилежащих сторон лежат в четырех различных плоскостях. [15]

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

M, N, L и K середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Отрезок соединяющий середины двух сторон в треугольнике является средней линией, которая параллельна третьей стороне.

MN, NL, LK и KM среднии линии в ΔABC, ΔBCD, ΔCDA и ΔDAB соответственно. Значит MN║AC; NL║BD; LK║CA=AC; KM║DB=BD.

Читайте также:  Как добавить друга в яндекс музыке

MN║AC║LK ⇒ MN║LK — по транзитивности параллельных прямых а пространстве.

Так же NL║KM (NL║BD║KM).

В четырёхугольнике MNLK противоположные стороны параллельны (MN║LK и NL║KM), то есть это параллелограмм. А точки M, N, L и K его вершины. Доказано.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector