Дружественные числа 220 и 284

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел M , N <displaystyle M,N> называют дружественной, если:

m 1 + m 2 + … + m k = N , <displaystyle m_<1>+m_<2>+ldots +m_=N,> n 1 + n 2 + … + n l = M , <displaystyle n_<1>+n_<2>+ldots +n_=M,>

где m 1 , m 2 , . . . m k <displaystyle m_<1>,m_<2>. m_> — делители числа M <displaystyle M> , n 1 , n 2 , . . . n l <displaystyle n_<1>,n_<2>. n_> — делители числа N <displaystyle N> .

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

Содержание

История [ править | править код ]

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.

• Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284.
• Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.

Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра. Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел:

• 17 296 и 18 416 .
• 9 363 584 и 9 437 056 .

В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Правда, этот критерий охватывает не все пары; например, пару (1184, 1210) Эйлер не заметил, её обнаружили уже в XIX веке. В XX веке компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.

Примеры [ править | править код ]

1. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
2. 1184 и 1210 (Паганини, 1866)
3. 2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
4. 5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
5. 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
6. 10 744 и 10 856 (Эйлер, 1747)
7. 12 285 и 14 595 (Браун, 1939)
8. 17 296 и 18 416 (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636)
9. 63 020 и 76 084 (Эйлер, 1747)
10. 66 928 и 66 992 (Эйлер, 1750)
11. 67 095 и 71 145 (Эйлер, 1747)
12. 69 615 и 87 633 (Эйлер, 1747)
13. 79 750 и 88 730 (Рольф (Rolf), 1964)
14. 100 485 и 124 155
15. 122 265 и 139 815
16. 122 368 и 123 152
17. 141 664 и 153 176
18. 142 310 и 168 730
19. 171 856 и 176 336
20. 176 272 и 180 848
21. 185 368 и 203 432
22. 196 724 и 202 444
23. 280 540 и 365 084
24. 308 620 и 389 924
25. 319 550 и 430 402
26. 356 408 и 399 592
27. 437 456 и 455 344
28. 469 028 и 486 178
29. 503 056 и 514 736
30. 522 405 и 525 915
31. 600 392 и 669 688
32. 609 928 и 686 072
33. 624 184 и 691 256
34. 635 624 и 712 216
35. 643 336 и 652 664
36. 667 964 и 783 556
37. 726 104 и 796 696
38. 802 725 и 863 835
39. 879 712 и 901 424
40. 898 216 и 980 984
41. 947 835 и 1 125 765
42. 998 104 и 1 043 096
43. и т. д.

Пары дружественных чисел образуют последовательность [1] :

220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, …

Способы построения [ править | править код ]

Формула Сабита ибн Курра [ править | править код ]

Если для натурального числа 1>"> n > 1 <displaystyle n>1> 1"/> все три числа:

p = 3 × 2 n − 1 − 1 <displaystyle p=3 imes 2^-1> , q = 3 × 2 n − 1 <displaystyle q=3 imes 2^-1> , r = 9 × 2 2 n − 1 − 1 <displaystyle r=9 imes 2^<2n-1>-1> ,

являются простыми, то числа 2 n p q <displaystyle 2^pq> и 2 n r <displaystyle 2^r> образуют пару дружественных чисел.

Эта формула даёт пары (220, 284), ( 17 296 , 18 416 ) и ( 9 363 584 , 9 437 056 ) соответственно для n = 2 , 4 , 7 <displaystyle n=2,;4,;7> , но больше никаких пар дружественных чисел, которые могли бы быть получены по этой формуле для n 20000 <displaystyle n не существует. Кроме того, многие пары дружественных чисел, например, ( 6232 , 6368 ), не могут быть получены по этой формуле.

Метод Вальтера Боро [ править | править код ]

Если для пары дружественных чисел вида A = a u <displaystyle A=au> и B = a s <displaystyle B=as> числа s <displaystyle s> и p = u + s + 1 <displaystyle p=u+s+1> являются простыми, причём a <displaystyle a> не делится на p <displaystyle p> , то при всех тех натуральных n <displaystyle n> , при которых оба числа q 1 = ( u + 1 ) p n + 1 − 1 <displaystyle q_<1>=(u+1)p^-1> и q 2 = ( u + 1 ) ( s + 1 ) p n − 1 <displaystyle q_<2>=(u+1)(s+1)p^-1> просты, числа B 1 = A p n q 1 <displaystyle B_<1>=Ap^q_<1>> и B 2 = a p n q 2 <displaystyle B_<2>=ap^q_<2>> — дружественные.

Открытые проблемы [ править | править код ]

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На апрель 2016 года известно более 1 000 000 000 пар дружественных чисел [2] . Все они состоят из чисел одинаковой чётности.

Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.

Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 10 67 .

Интересные факты [ править | править код ]

Пару дружественных чисел 1184 и 1210 обнаружил в 1866 г. итальянский школьник — Никколо Паганини — полный тёзка великого скрипача. Любопытно, что эту пару «проглядели» все великие математики.

Проект BOINC [ править | править код ]

30 января 2017 года запущен проект распределённых вычислений на платформе BOINC — Amicable Numbers [3] . Поиск дружественных чисел осуществляется как с помощью расчётов на процессоре так и на видеокарте.

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284. Только спустя много столетий Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор.

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

История

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284 .

Дружественные числа 284 и 220 имеют соответствующую сумму делителей: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

и 1+2+4+71+142 = 220 ,

Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра (826—901). Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Много столетий спустя Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416 . Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор.

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. Известно 11.994.387 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа.

Примеры:

Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 100 000.

1. 220 и 284 (Пифагор, около 500 дон. э.)
2. 1184и 1210 (Паганини, 1860)
3. 2620и 2924 (Эйлер, 1747)
4. 5020и 5564 (Эйлер, 1747)
5. 6232и 6368 (Эйлер, 1750)
6. 10744и 10856 (Эйлер, 1747)
7. 12285и 14595 (Браун, 1939)
8. 17296и 18416 (Ибн ал-Банна, около 1300, Фариси, около 1300, Ферма, Пьер, 1636)
9. 63020и 76084 (Эйлер, 1747)
10. 66928и 66992 (Эйлер, 1750)
11. 67095и 71145 (Эйлер, 1747)
12. 69615и 87633 (Эйлер, 1747)
13. 79750и 88730 (Рольф (Rolf), 1964)