Формула для расчета скорости спутника

Формула для расчета скорости спутника

Первая космическая скорость — это скорость которой должно обладать тело чтобы обращаться на постоянной высоте над поверхностью планеты.

С помощью формулы ускорения свободного падения можно определить скорость обращения искусственного спутника Земли (и любой другой планеты) на любой высоте над ее поверхностью.

Первая космическая (орбитальная) скорость

Действующая на спутник сила тяжести равна центробежной силе, т.е.

Здесь:
u1k — первая космическая (орбитальная) скорость (м/c),
h — высота спутника над поверхностью планеты (м),
rЗем — начальное расстояние между центрами масс тел (Поверхность планеты Земля) (метр),
mЗем — масса планеты Земля (кг),
m — масса спутника (кг),
g — ускорение свободного падения на некотором расстоянии от поверхности Земли (м/с²),
gЗем — ускорение свободного падения на поверхности Земли 9.81 (м/с²),
γ — гравитационная постоянная 6.67 · 10 -11 (м 3 /(кг · сек 2 )),

Подставим сюда формулу ускорения свободного падения и получим

Выражение для скорости движения искусственного спутника по орбите (верное также для других небесных тел) можно вывести, просто приравняв вес спутника силе гравитационного притяжения

Подставим 6 в 4 первая космическая скорость получится равной:

Формула (7) позволяет определить скорость движения спутников по орбите. Однако конечная скорость ракеты-носителя в момент прекращения работы двигателей должна быть больше, чтобы вывести спутник на нужную высоту.

Указанные формулы справедливы и для случая движения Луны вокруг Земли. Верны они также и в случае движения планет вокруг Солнца, если движение происходит по траектории, незначительно отличающейся от круговой, т.е. по траектории с малым эксцентриситетом.

Пе́рвая косми́ческая ско́рость (кругова́я ско́рость) — минимальная (для заданной высоты над поверхностью планеты) горизонтальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он совершал движение по круговой орбите вокруг планеты [1] . Первая космическая скорость для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли, составляет 7,91 км/с [2] . Впервые была достигнута космическим аппаратом СССР 4 октября 1957 г. (первый искусственный спутник) [3] .

Читайте также:  Ава для парня без лица со спины

Вычисление и понимание [ править | править код ]

В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, будет действовать только одна сила — сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения — то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно — вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения — перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять своё направление. Поэтому в инерциальной системе отсчета такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Уравнение второго закона Ньютона для тела, принимаемого за материальную точку, движущегося по орбите вокруг планеты c радиальным распределением плотности, можно записать в виде [4]

m a = G M m R 2 , <displaystyle ma=G<frac <2>>>,>

где m <displaystyle m> — масса объекта, a <displaystyle a> — его ускорение, G <displaystyle G> — гравитационная постоянная, M <displaystyle M> — масса планеты, R <displaystyle R> — радиус орбиты.

В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью v <displaystyle v> его ускорение равно центростремительному ускорению v 2 R . <displaystyle <frac <2>>> .> С учётом этого уравнение движения с первой космической скоростью v 1 <displaystyle v_<1>> приобретает вид [5] :

m v 1 2 R = G M m R 2 . <displaystyle m<frac <1>^<2>>>=G<frac <2>>>.>

Отсюда для первой космической скорости следует

v 1 = G M R . <displaystyle v_<1>=<sqrt >>>.>

Радиус орбиты складывается из радиуса планеты R 0 <displaystyle R_<0>> и высоты над её поверхностью h <displaystyle h> . Соответственно, последнее равенство можно представить в виде

v 1 = G M R 0 + h . <displaystyle v_<1>=<sqrt <0>+h>>>>.>

Подставляя численные значения для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли (h ≈ 0, M = 5,97·10 24 кг, R = 6 371 км), получаем

Читайте также:  Телефон nokia lumia 1320

Период обращения спутника по круговой орбите равен:

T = 2 π R v = 2 π R R G M . <displaystyle T=<frac <2pi R>>=2pi R<sqrt <frac >>.>

При удалении спутника от центра Земли в 42 200 км период обращения становится равным 24 часа, то есть времени обращения Земли вокруг своей оси. Если запустить на круговую орбиту спутник на такой высоте в сторону вращения Земли в плоскости экватора, то он будет висеть над одним и тем же местом поверхности Земли на высоте 35 800 км (геостационарная орбита) [4] .

С увеличением высоты орбиты первая космическая скорость уменьшается. Так, на высоте 100 км над поверхностью Земли она равна 7 844 м/с, а на высоте 300 км — 7 726 м/с [6] .

Другое выражение первой космической скорости имеет вид: v 1 = g R <displaystyle v_<1>=<sqrt >> , где g <displaystyle g> — ускорение свободного падения на расстоянии R <displaystyle R> от центра Земли [4] [3] .

Если скорость тела направлена горизонтально и при этом больше первой космической скорости, но меньше второй космической, то орбита представляет собой эллипс [6] .

Космическая скорость (первая v1, вторая v2, третья v3 и четвёртая v4) — это минимальная скорость, при которой какое-либо тело в свободном движении с поверхности небесного тела сможет:

v1 — стать спутником небесного тела (то есть способность вращаться по орбите вокруг НТ и не падать на поверхность НТ).

v2 — преодолеть гравитационное притяжение небесного тела.

v3 — покинуть звёздную систему, преодолев притяжение звезды.

v4 — покинуть галактику, преодолев притяжение сверхмассивной черной дыры.

Для вычисления первой космической скорости необходимо рассмотреть равенство центробежной силы и силы тяготения.

где m — масса объекта, M — масса планеты, G — гравитационная постоянная (6,67259·10 −11 м³·кг −1 ·с −2 ), — первая космическая скорость, R — радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли M = 5,97·10 24 кг, R = 6 371 км), найдем

7,9 км/с

Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения — так как g = GM/R², то

Читайте также:  Самый мощный процессор интел

.

Космические скорости могут быть вычислены и для поверхности других космических тел. Например на Луне v1 = 1,680 км/с, v2 = 2,375 км/с

Кинетическая и потенциальная энергии.

Рассмотрим случай, когда на тело массой m действует постоянная сила (она может быть равнодействующей нескольких сил) и векторысилы и перемещения направлены вдоль одной прямой в одну сторону. В этом случае работу силы можно определить как A = F∙s.Модуль силы по второму закону Ньютона равен F = m∙a, а модуль перемещения s при равноускоренном прямолинейном движении связанс модулями начальной υ1 и конечной υ2 скорости и ускорения а выражением

Отсюда для работы получаем

(1)

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела.

Кинетическая энергия обозначается буквой Ek.

(2)

Тогда равенство (1) можно записать в таком виде:

Теорема о кинетической энергии:

работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.

Так как изменение кинетической энергии равно работе силы (3), кинетическая энергия тела выражается в тех же единицах, что и работа,т. е. в джоулях.

Если начальная скорость движения тела массой т равна нулю и тело увеличивает свою скорость до значения υ, то работа силы равна конечному значению кинетической энергии тела:

(4)

Физический смысл кинетической энергии:

кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью υ, показывает, какую работу должна совершить сила, действующая на покоящеесятело, чтобы сообщить ему эту скорость.

Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

где Ep — потенциальная энергия тела, m — масса тела, g — ускорение свободного падения, h — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector