Этот коротенький урок посвящён ещё одному приложению степенных рядов, название которого вы видите в заголовке. Для решения примеров нам опять потребуется таблица разложений (откройте на соседней вкладке или распечатайте), и я предлагаю вам улучшить своё настроение! Потому что задание будет простое, приятное и его краткая суть такова: в некоторых пределах для устранения неопределённости оказывается эффективной замена функции(й) степенными рядами. Когда слова излишни:
И сразу обратите внимание на одну важную особенность: многие приложения степенных рядов посвящены приближённым вычислениям, однако в данном случае мы имеем дело с точным методом – поскольку меняем функцию на ВЕСЬ ряд. Если вам всё же не понятна суть этого действия, то, пожалуйста, обратитесь к статье о разложении функций.
Аналогичным способом можно доказать некоторые другие замечательные пределы: 
Задание: используя таблицу разложений, проверьте, что 
. Задание, в общем-то, устное.
Очевидно, что предельное значение «икс» должно обязательно лежать в интервале сходимости ряда, и теоретически это может быть любое число данного интервала. Но практически оно, как правило, равно нулю, что избавляет нас от проблем с «хвостом» ряда.
Пройдёмся по «местам боевой славы»:
Вычислить предел с помощью разложения функции в ряд 
Это предел из Примера 4 статьи Замечательный пределы.
Используем разложение 
– много членов записывать не нужно, обычно хватает трёх-четырёх. В данном случае 
:
Не забываем проставлять троеточия и указывать, что остаток ряда стремится к нулю!
Вычислить предел с помощью степенных рядов 
Краткое решение в конце урока. Сверьтесь с Примером 6 урока Правила Лопиталя.
И особо интересный предел (см. Пример 4 того же урока), в котором мы использовали правило Лопиталя дважды:
Вычислить предел с помощью степенных рядов 
Вполне возможно, кому-то такое решение придётся больше по вкусу: 
Используем разложение 
для 
и 
, и чтобы не запутаться, сразу упростим числитель: 
Со знаменателем всё проще: 
Рассматриваемый способ решения не является какой-то «проформой» и бывает действительно выгоден – когда в «начинке» предела находятся «разношёрстные» функции, особенно их суммы или разности:
Пользуясь известными разложениями функций в ряд Маклорена, вычислить следующий предел: 
И даже в такой коротенькой статье не могу не порадовать вас новым и познавательным материалом!
Разложение тангенса в ряд Маклорена
, где 
– так называемые числа Бернулли. Данный ряд сходится при 
.
Вы спросите, почему разложения тангенса нет в таблице? Почти не требуется. ПризнАюсь, что данная «таблица» – это вообще не какая-то стандартная справка, а конспект, составленный на основе своего личного опыта. Так, например, во многих аналогичных «таблицах» вы не встретите разложения арктангенса и арксинуса (они выводятся – см. урок о сумме степенного ряда). Я же счёл нужным добавить их в pdf-ку, чтобы «далеко не ходить» – часто нужны на практике
Но вернёмся к теме:
Да, конечно, здесь можно воспользоваться тригонометрической формулой 
, избавиться от трёхэтажности дроби и разобраться с двумя синусами и косинусом. Но к чему такие трудности? – если есть прямое разложение 
для 
:
Ради шутки можете вычислить предел 
из Примера 3 урока Замечательные пределы. А кроме шуток, разложение функций в ряд используется для устранения не только неопределённости 
(как можно было бы подумать):
Вычислить предел с помощью степенного ряда 
И при такой формулировке задания правила хорошего тона предписывают разложить экспоненту в ряд как можно скорее – ещё в знаменателе. Далее алгоритм работает стандартно: приводим выражение к общему знаменателю, после чего что-нибудь должно сократиться:
И заключительный предел для самостоятельного решения:
Вычислить предел, разложив функции в ряд Маклорена 
Не знаете, что делать с квадратом синуса? Ай-яй-яй =)
Решения и ответы:
Пример 2: 
Используем ряд 
и разложение 
для 
: 
Пример 4: 
Используем разложения 
и 
: 
Пример 7: 
Используем тригонометрическую формулу 
и разложение 
для 
: 
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com
Метод решения
Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x , стремящейся к нулю. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной.
2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0 . При этом выполняем разложение до такой степени x n , которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o ( x n ) .
Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.
Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А) Задаемся показателем степени n , до которого мы будем проводить разложение.
Б) Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при , или заменяя их на .
В) В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при . Например,
.
Здесь при . Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .
Примечание. Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена. Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.
Применяемые свойства о малого
Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).
Далее m и n – натуральные числа, .
;
;
, если ;
;
;
;
, где ;
, где c ≠ 0 – постоянная;
.
Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
, где .
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
.
Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого выполняем преобразования.
.
Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n может принимать только положительные значения. Поэтому . Делаем замену переменной . При . Будем искать предел считая, что x – действительное число. Если предел существует, то он существует и для любой последовательности , сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .
.
Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:
.
Оставляем только линейный член.
.
.
Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел , то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .
Пример 2
Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.
Делаем замену переменной . Тогда . При . Подставляем.
.
Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки . Мы полагаем, что . Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда
.
Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
.
.
Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.
Пример 3
Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
.
Это неопределенность вида 0/0 . Используем следующие разложения функций в окрестности точки :
;
;
.
Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
;
.
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.
Пример 4
Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора.
.
Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0 . Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше разложение для гиперболического синуса ⇑:
(П4.1) .
В разложении экспоненты, заменим x на –x :
(П4.2) .
Далее, – сложная функция. Сделаем замену переменной . При . Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки . Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x в t :
(П4.3) .
Заметим, что если бы у нас была функция , то при . Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки . В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование:
.
Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).
Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x : . То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x : , и линейные . Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в .
;
;
.
Поскольку , то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем:
.
Подставляем в предел:
.
Мы снова получили неопределенность вида 0/0 . Значит разложения до степени не достаточно.
Если мы выполним разложение до степени , то опять получим неопределенность:
.
Выполним разложение до степени . То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями . Остальные включаем в .
;
;
;
.
Далее замечаем, что . Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени , включив их в . Используем разложение (П4.3), заменив t на :
.
Подставляем в исходную функцию.
.
Находим предел.
.
Пример 5
Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора.
.
Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.
Теперь переходим к числителю. При . Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при , а у нас . Заметим, что . Поэтому выполним преобразование.
.
Теперь можно сделать подстановку , поскольку при .
Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки . Применяем приведенное выше разложение ⇑.
;
;
;
;
;
;
Далее заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .
Разложим второй логарифм. Приводим его к виду , где при .
,
где .
Разложим z в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до .
Применим разложение синуса ⇑:
.
Заменим x на :
. Тогда
;
;
Заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .
Раскладываем с точностью до и учитываем, что .
;
.
Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
;
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 29-04-2019
Изложение метода
Рассмотрим предел при отношения , где f (0) = g (0) = 0,т.е. предел типа
Будем предполагать, что
Тогда разложение функции f по формуле Маклорена (20) имеет вид
Аналогично, предполагая, что
по формуле (20) находим
Из равенства (44) и (45) следует, что
Примеры вычисления пределов с помощью формулы Тейлора
· Используя формулы (24), (26), (31) и (42), где
sh x = х + + + . + + о(), ;
sin x = х — + + . + + о(),
= 1 — x + x 2 + . + x n + ;
Искомый предел равен -4. ?
· Пусть f(x) и g(x) — соответственно числитель и знаменатель дроби. Тогда, используя формулы (43) и (27), где
Поэтому числитель f(x) следует разложить до Применяя формулы (41), (35) и (25), где
Искомый предел равен -16. ?
Локальная формула Тейлора часто используется при вычисление предела при функции . Если и разложение функции f по формуле Маклорена имеет вид (44) т.е.
, а функция представляется при в виде
то, используя формулу
· Используя формулы (39) и (24), где
sh x = х + + + . + + о(), ,
Используя формулы (23), (33) и (42), где
По формуле (46) находим, что
При вычисление предела с помощью формулы Тейлора в конечной точки можем положить и свести задачу к вычислению предела при t = 0.
Неопределенности видов , 0 ?, ? — ? обычно приводят к пределу типа
при б = , n = 2, получаем
, что искомый предел
· Используя формулы (23) и (27), где
В данной курсовой работе был рассмотрен метод вычисления пределов с помощью формулы Тейлора.
Рассмотренный метод является достаточно эффективный при вычисление пределов.
1. Тер-Крикоров А.М. Курс математического анализа. Учеб. пособие для вузов.- 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ- ЛИТ, 2001.
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Том 1. Издательство “Наука”.Главная редакция Физико-математическо Литературы. Москва 1968г.
3. Ляшко И.И., Бояргук А.К., Тай Я.Г. и др. Справочное пособие по математическому анализу. Ч.1.Введение в анализ, производная, интеграл. Киев, издательство объединение «Вица школа», 1978 г.
