Формула угла треугольника по трем сторонам

Формула угла треугольника по трем сторонам

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам с использованием теоремы косинусов.

От нашего пользователя поступил запрос на создание калькулятора, рассчитывающего углы треугольника по заданным сторонам — Расчет углов треугольника.

Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).

Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Математически (см. рисунок) это выражается системой
c" /> a" /> b" />

В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.

Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь теоремой косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора (см. рисунок)

Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.

Геометрическая фигура из трех отрезков, соединенных между собой тремя точками, не лежащими на одной прямой, называется треугольником. Это — многоугольник с тремя углами. Сумма всех углов треугольника равна 180°. Если известна величина двух из них, третий угол определяем вычитанием из 180° величины двух известных углов.

α = 180°-β-γ

Если известны стороны треугольника, можно рассчитать его углы, воспользовавшись теоремой косинусов. Здесь, квадрат одной стороны треугольника (а) равен сумме квадратов двух его других сторон (b,с), образующих искомый угол (α), плюс удвоенное произведение этих сторон (b,с) на косинус угла.

a 2 = b 2 + c 2 + 2abc cos (α)

Отсюда, косинус искомого угла равняется сумме квадратов смежных сторон (b, с) минус квадрат третей стороны треугольника (а), противолежащей искомому углу, и все это делится на удвоенное произведение смежных сторон:

Читайте также:  Программа для блокировки игр на компьютере

cos (α) = (b 2 + c 2 — a 2 ) / 2bc

,
где а, b, с — стороны треугольника.
Используя теорему косинусов, определяем косинусы остальных углов. Величины углов в градусах находим по тригонометрической таблице.

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Читайте также:  Как записать винду с диска на флешку

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector