Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов: 0 и 1. Двоичную цифру называют битом. Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера.
Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.
Пример: 1001 + 10 = 1011
Пример: 1111101 — 10001 = 1101100
Пример: 1111 · 1001 = 10000111
Перевод чисел.
Для перевода десятичного числа в двоичное надо разделить его на 2 и собрать остатки, начиная с последнего частного.
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.
Пример: требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). Представим его в виде суммы степеней с основанием 2: 101101102 = (1·2 7 )+(0·2 6 )+(1·2 5 )+(1·2 4 )+(0·2 3 )+(1·2 2 )+(1·2 1 )+(0·2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 18210
Таблица соответствия десятеричного от 1 до 255 (decimal), двоичного (binary) и шестнадцатеричного (hexadecimal) представлений чисел.
| Системы счисления в культуре | |
|---|---|
| Индо-арабская | |
| Арабская Тамильская Бирманская |
Кхмерская Лаосская Монгольская Тайская |
| Восточноазиатские | |
| Китайская Японская Сучжоу Корейская |
Вьетнамская Счётные палочки |
| Алфавитные | |
| Абджадия Армянская Ариабхата Кириллическая Греческая |
Грузинская Эфиопская Еврейская Акшара-санкхья |
| Другие | |
| Вавилонская Египетская Этрусская Римская Дунайская |
Аттическая Кипу Майяская Эгейская Символы КППУ |
| Позиционные | |
| 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60 | |
| Нега-позиционная | |
| Симметричная | |
| Смешанные системы | |
| Фибоначчиева | |
| Непозиционные | |
| Единичная (унарная) | |
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.
Содержание
Двоичная запись чисел [ править | править код ]
В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов ( и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд) [1] , например 0b101 или соответственно &101.
В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 1012 произносится «один ноль один».
Натуральные числа [ править | править код ]
Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как ( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>> 
( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 = ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k , <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>=sum _^a_
- n <displaystyle n>
- a k <displaystyle a_
> - k <displaystyle k>
Отрицательные числа [ править | править код ]
Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления ( − a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 <displaystyle (-a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>>
( − a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 = − ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k . <displaystyle (-a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>=-sum _^a_
В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде.
Дробные числа [ править | править код ]
Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как ( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − ( m − 1 ) a − m ) 2 <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>,a_<-1>a_<-2>dots a_<-(m-1)>a_<-m>)_<2>>
Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел [ править | править код ]
| + | 1 | |
|---|---|---|
| 1 | ||
| 1 | 1 | 0 (перенос 1 в старший разряд) |
| — | 1 | |
|---|---|---|
| 1 | ||
| 1 | 1(заём из старшего разряда) |
Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 1410 + 510 = 1910 в двоичном виде выглядит как 11102 + 1012 = 100112):
| + | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 1 |
| × | 1 | |
|---|---|---|
| 1 | 1 |
Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 1410 * 510 = 7010 в двоичном виде выглядит как 11102 * 1012 = 10001102):
| × | 1 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | |||||
| + | 1 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 |
Преобразование чисел [ править | править код ]
Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:
| 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.
Преобразование двоичных чисел в десятичные [ править | править код ]
Допустим, дано двоичное число 1100012. Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:
То же самое чуть иначе:
Можно записать это в виде таблицы следующим образом:
| 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | |||||||
| +32 | +16 | +0 | +0 | +0 | +1 |
Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 1100012 равнозначно десятичному 4910.
Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные [ править | править код ]
Нужно перевести число 1011010,1012 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:
1 * 2 6 + * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + * 2 2 + 1 * 2 1 + * 2 0 + 1 * 2 −1 + * 2 −2 + 1 * 2 −3 = 90,625
То же самое чуть иначе:
| 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | , | 1 | 1 | ||||
| +64 | +0 | +16 | +8 | +0 | +2 | +0 | +0.5 | +0 | +0.125 |
Преобразование методом Горнера [ править | править код ]
Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.
Например, двоичное число 10110112 переводится в десятичную систему так:
То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.
Перевод дробной части чисел методом Горнера [ править | править код ]
Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).
Преобразование десятичных чисел в двоичные [ править | править код ]
Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :
19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка
2/2 = 1 без остатка
1/2 = 0 с остатком 1
Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.
Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные [ править | править код ]
Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
- Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
- В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
- Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 • 2 = ,232
0,232 • 2 = ,464
0,464 • 2 = ,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = ,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = ,784
и т. д.
Получим: 206,11610 ≈ 11001110,00011101102
Применения [ править | править код ]
В цифровых устройствах [ править | править код ]
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
- Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
- Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,
В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде. Например, число −510 может быть записано как −1012 но в 32-битном компьютере будет храниться как 111111111111111111111111111110112.
В английской системе мер [ править | править код ]
При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16″, 3 11 / 32″ и т. д.
Обобщения [ править | править код ]
Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.
