Информатика таблица двоичных чисел

Информатика таблица двоичных чисел

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов: 0 и 1. Двоичную цифру называют битом. Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.

Пример: 1001 + 10 = 1011

Пример: 1111101 — 10001 = 1101100

Пример: 1111 · 1001 = 10000111

Перевод чисел.

Для перевода десятичного числа в двоичное надо разделить его на 2 и собрать остатки, начиная с последнего частного.

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Пример: требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). Представим его в виде суммы степеней с основанием 2: 101101102 = (1·2 7 )+(0·2 6 )+(1·2 5 )+(1·2 4 )+(0·2 3 )+(1·2 2 )+(1·2 1 )+(0·2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 18210

Таблица соответствия десятеричного от 1 до 255 (decimal), двоичного (binary) и шестнадцатеричного (hexadecimal) представлений чисел.

Системы счисления в культуре
Индо-арабская
Арабская
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Грузинская
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская
Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ
Позиционные
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Смешанные системы
Фибоначчиева
Непозиционные
Единичная (унарная)

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.

Содержание

Двоичная запись чисел [ править | править код ]

В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов ( и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд) [1] , например 0b101 или соответственно &101.

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 1012 произносится «один ноль один».

Читайте также:  Мониторы компьютерные жидкокристаллические состав отхода

Натуральные числа [ править | править код ]

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как ( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>> , имеет значение:

( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 = ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k , <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>=sum _^a_2^,>

  • n <displaystyle n>— количество цифр (знаков) в числе,
  • a k <displaystyle a_>— цифры из множества <0,1>,
  • k <displaystyle k>— порядковый номер цифры.

Отрицательные числа [ править | править код ]

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления ( − a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 <displaystyle (-a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>> , имеет величину:

( − a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 ) 2 = − ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k . <displaystyle (-a_a_dots a_<1>a_<0>)_<2>=-sum _^a_2^.>

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде.

Дробные числа [ править | править код ]

Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как ( a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − ( m − 1 ) a − m ) 2 <displaystyle (a_a_dots a_<1>a_<0>,a_<-1>a_<-2>dots a_<-(m-1)>a_<-m>)_<2>> , имеет величину:

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел [ править | править код ]

+ 1
1
1 1 0 (перенос 1 в старший разряд)
1
1
1 1(заём из старшего разряда)

Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 1410 + 510 = 1910 в двоичном виде выглядит как 11102 + 1012 = 100112):

+ 1 1 1
1 1
1 1 1
× 1
1 1

Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 1410 * 510 = 7010 в двоичном виде выглядит как 11102 * 1012 = 10001102):

× 1 1 1
1 1
+ 1 1 1
1 1 1
1 1 1

Преобразование чисел [ править | править код ]

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные [ править | править код ]

Допустим, дано двоичное число 1100012. Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:

То же самое чуть иначе:

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1
+32 +16 +0 +0 +0 +1

Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 1100012 равнозначно десятичному 4910.

Читайте также:  Размеры в автокад 2016

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные [ править | править код ]

Нужно перевести число 1011010,1012 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

1 * 2 6 + * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + * 2 2 + 1 * 2 1 + * 2 0 + 1 * 2 −1 + * 2 −2 + 1 * 2 −3 = 90,625

То же самое чуть иначе:

64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
1 1 1 1 , 1 1
+64 +0 +16 +8 +0 +2 +0 +0.5 +0 +0.125

Преобразование методом Горнера [ править | править код ]

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Например, двоичное число 10110112 переводится в десятичную систему так:

То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.

Перевод дробной части чисел методом Горнера [ править | править код ]

Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).

Преобразование десятичных чисел в двоичные [ править | править код ]

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка
2/2 = 1 без остатка
1/2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные [ править | править код ]

Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

  • Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
  • В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
  • Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.
Читайте также:  Браузер белка старая версия для андроид

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

0,116 • 2 = ,232
0,232 • 2 = ,464
0,464 • 2 = ,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = ,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = ,784
и т. д.

Получим: 206,11610 ≈ 11001110,00011101102

Применения [ править | править код ]

В цифровых устройствах [ править | править код ]

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

  • Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
  • Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде. Например, число −510 может быть записано как −1012 но в 32-битном компьютере будет храниться как 111111111111111111111111111110112.

В английской системе мер [ править | править код ]

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16″, 3 11 / 32″ и т. д.

Обобщения [ править | править код ]

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector