Является ли арифметической прогрессией последовательность заданная формулой

Является ли арифметической прогрессией последовательность заданная формулой

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

TheChurchil 28.02.2017

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Арифметическая прогрессия-это прогрессия,каждый член которой(начиная со второго), получается из предыдущего и прибавлением к нему какого-либо числа.Проще говоря,чтобы получить следующее число прогрессии,надо к предыдущему числу всегда одно число прибавлять.

Ну и найдем первые три члена прогрессии,чтобы посмотреть,выполняется определение.

Из этого всего видно,что данная формула не является арифметической прогрессией.

Ответ или решение 1

Если для каждого члена последовательности выполняется соотношение: аn = (an – 1 + an + 1) / 2 (т.е. каждый член последовательности равен среднему арифметическому двух соседних ее членов), то данная последовательность является арифметической прогрессией. Проверим выполнение этого соотношения для каждого пункта задачи.

1)an = 3n + 1. Найдем формулу для n — 1-го и n + 1-го члена последовательности, подставив вместо n n – 1 и n + 1 соответственно:

an – 1 = 3 * (n – 1) + 1 = 3 * n – 3 * 1 + 1 = 3n – 3 + 1 = 3n – 2;

an + 1 = 3 * (n + 1) + 1 = 3 * n + 3 * 1 + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4.

Тогда (an – 1 + an + 1) / 2 = (3n – 2 + 3n + 4) / 2 = (6n + 2) / 2 = 3n + 1 = an – значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

an — 1 = (n – 1) 2 – 5 = n 2 + 1 2 – 2 *n * 1 – 5 = n 2 + 1 – 2n – 5 = n 2 – 2n – 4;

an + 1 = (n + 1) 2 – 5 = n 2 + 1 2 + 2 *n * 1 – 5 = n 2 + 1 + 2n – 5 = n 2 + 2n – 4;

(an – 1 + an + 1) / 2 = (n 2 – 2n – 4 + n 2 + 2n – 4) / 2 = (2n 2 – 8) / 2 = n 2 – 4 ≠ an. Значит, указанная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: не является.

an – 1 = (n – 1) + 4 = n – 1 + 4 = n + 3;

an + 1 = (n + 1) + 4 = n + 1 + 4 = n + 5;

(an – 1 + an + 1) / 2 = (n + 3 + n + 5) / 2 = (2n + 8) / 2 = n + 4 = an — значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

an – 1 = 1 / ((n – 1) + 4) = 1 / (n – 1 + 4) = 1 / (n + 3);

an + 1 = 1 / ((n + 1) + 4) = 1 / (n + 1 + 4) = 1 / (n + 5);

(an – 1 + an + 1) / 2 = (1/(n + 3) + 1/(n + 5)) / 2 = ((n + 5 + n + 3)/(n + 3)(n + 5)) / 2 = ((2n + 8)/(n + 3)(n + 5)) / 2 = (n + 4)/(n + 3)(n + 5) ≠ an. Значит, указанная последовательность не является арифметической прогрессией.

Читайте также:  Восстановление windows из бэкапа

Ответ: не является.

an – 1 = 0,5(n – 1) + 1 = 0,5n – 0,5 + 1 = 0,5n + 0,5;

an + 1 = 0,5(n + 1) + 1 = 0,5n + 0,5 + 1 = 0,5n + 1,5;

(an – 1 + an + 1) / 2 = (0,5n + 0,5 + 0,5n + 1,5) / 2 = (n + 2) / 2 = 0,5n + 1 = an — значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

an – 1 = 6 * (n – 1) = 6 * n – 6 * 1 = 6n – 6;

an + 1 = 6 * (n + 1) = 6 * n + 6 * 1 = 6n + 6;

(an – 1 + an + 1) / 2 = (6n — 6 + 6n + 6) / 2 = (12n) / 2 = 6n = an — значит, указанная последовательность является арифметической прогрессией.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией.

an+1 = an + d , n є N

Число d называют разностью арифметической прогрессии

Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и то же число, то это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом.

Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.

Арифметическая прогрессия является:

возрастающей последовательностью, если d > 0, например, 1, 3, 5, 7, 9,11.

убывающей, если d 1

Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Арифметическая прогрессия может быть задана следующими способами:

а) рекуррентной формулой:

б) формулой n-го члена: an = a1+ d · (n — 1)

в) формулой вида, an = k·n + b , где k и b – числа, n – номер ? N

Сумма n членов арифметической прогрессии:

Основные определения и данные для арифметической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение арифметической прогрессии an+1 = an + d
Разность арифметической прогрессии d = an+1 — an
Формула n-го члена арифметической прогрессии an = a1+ d · (n — 1)
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пример 1.

Читайте также:  Прочностный анализ в компасе

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Кладку бревен рассмотрим в виде арифметической прогрессии, где а1= 1, а2= 2, аn= 12

Ответ: 78 бревен.

Пример 2.

Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если: а1 = -5, d = 0,5

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector