На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по показательному (или экспоненциальному) закону.
Плотность распределения величины $X$ с экспоненциальным законом распределения задается формулой:
Функция распределения величины $X$:
Здесь $lambda$ — единственный параметр данного распределения, полностью определяющий его свойства. В частности, числовые характеристики выражаются через этот параметр: $M(X)=1/lambda$, $D(X)=1/lambda^2$.
Экспоненциальное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями события, а параметр $lambda$ описываетс среднее число наступлений события в единицу времени. Обычно с помощью этого закона описывают: продолжительность обслуживания покупателя, время жизни оборудования до отказа, промежуток времени между поломками и т.п.
В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются показательно распределенные случайные величины.
Примеры решений
Задача 1. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.
Задача 2. Известно, что время работы прибора до первого отказа подчиняется показательному распределению со средним значением 1 год. Какова вероятность, что до первого отказа пройдет не менее 2 лет?
Задача 3. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина $X$, распределенная по показательному закону с параметром $lambda=1/3$ (1/день). Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 5 дней.
Задача 4. Время в годах безотказной работы прибора подчинено показательному закону, т.е. плотность распределения этой случайной величины такова: $f(t)=2e^<-2t>$ при $tge 0$ и $f(t)=0$ при $tlt 0$.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.
Задача 5. Предполагая, что случайное время обслуживания абонента службой «09» распределено по показательному закону и средняя продолжительность обслуживания составляет 1,5 минуты, найдите вероятность того, что абонент будет обслужен более, чем за 2 минуты.
Задача 6. Длительность телефонного разговора подчиняется показательному закону. Найти среднюю длительность разговора, если вероятность того, что разговор продлится более 5 минут, равна 0,4.
Задача 7. Случайная величина задана плотностью распределения $p(x)=ce^<-3x>$ при $x gt 0$, и ноль в остальных случаях. Найти постоянную $c$, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Задача 8. Непрерывная случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром $lambda$, равному номеру варианта 9. Найти плотность распределения случайной величины $xi$, функцию распределения, построить графики этих функций. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины $xi$ и вероятность того, что $xi$ принимает значения, меньшие своего математического ожидания.
Задача 9. Случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром 2. Найти $M_<xi>$, $D_<xi>$ вероятность попадания $xi$ в интервал $(-1;2)$. Нарисовать графики плотности распределения и функции распределения $xi$.
Задача 10. Известно, что $Х$ распределено по экспоненциальному закону $Exp(lambda)$. Найдите вероятность события $|Х — МХ | lt 3sigma$ ("правило $3sigma$" для показательного распределения).
Решебник по теории вероятности онлайн
Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:
Часто используется показательный закон распределения времени обслуживания (рис. 5.9).
Функция распределенияв этом случае имеет вид:
Рис. 5.9. Функция распределения и плотность распределения времени обслуживания для показательного закона
Среднее время обслуживания равно:
где μ – средняя скорость обслуживания;
μt – число заявок за время обслуживания t.
Д о с т о и н с т в а и с п о л ь з о в а н и я э к с п о н е н ц и а л ь н о г о
з а к о н а р а с п р е д е л е н и я
1) Вероятность, что время обслуживания закончится в малом интервале dt, не зависит от длительности предыдущего интервала обслуживания (система без памяти).
2) При прерывании обслуживания через время Т, оставшееся время (t–T) также распределено по экспоненциальному закону с тем же параметром μ.
Дата добавления: 2014-12-27 ; Просмотров: 1412 ; Нарушение авторских прав? ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
В большинстве СМО поступления клиентов происходит случайным образом. Это означает, что наступление события (например, поступление клиента или завершение обслуживания) не зависит от времени, прошедшего с момента наступления события.
Время между последовательными поступлениями клиентов и время их обслуживания, будучи случайными, при моделировании СМО количественно описываются экспоненциальным распределением, плотность вероятности которого имеет вид
причем математическое ожидание М(х) = 
.
Функция распределения экспоненциального закона F(x) = 1 — ℮ — λt , t >0.
4. При обслуживании некоего сложного агрегата всегда имеется запасной блок для немедленной замены в случае поломки. Время выхода агрегата из строя является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону, и в среднем происходит каждые 40 минут. Оператор, обслуживающий агрегат, утверждает, что агрегат «имеет привычку» выходить из строя каждый вечер около 20.30. Проанализировать утверждение оператора.
Решение. Средняя интенсивность (количество событий в единицу времени) агрегата равна λ = 
= 1,5 отказа в час. Следовательно, плотность экспоненциального распределения времени отказа имеет вид
Что касается заявления оператора, то и без вычислений видно, что оно не может соответствовать действительности, так как не согласуется с тем, что время между отказами агрегата распределено по экспоненциальному закону и, следовательно, является случайным. Для подтверждения или опровержения заявления оператора нельзя использовать вероятность того, что отказ будет происходить в 20.30, т.к. вероятность такого события зависит от времени дня (относительно 20.30) когда она вычисляется. Например, если вычисления производятся в 20.20, то, т.к. разница с 20.30 составляет 10 минут, то вероятность того, что утверждение оператора окажется справедливым этим вечером, равна
= 0,22,
т.е. является очень малой. Если же вычисления проводить, например, в 19.00, то вероятность того, что отказ будет иметь место в 20.30, равна
= 0,91.
Таким образом, достоверность утверждения оператора нельзя проанализировать на основе полученных вероятностей. В данной ситуации нужно полагаться только на характеристики экспоненциального распределения, а точнее, на его свойство отсутствия последействия.
5. Объяснить связь между интенсивностью поступления заявок на обслуживание λ и средним временем между последовательными их поступлениями. Определите среднюю интенсивность (в час) поступлений заявок на обслуживание и среднее время между их последовательными поступлениями в следующих примерах
1) каждые 10 минут происходит одно поступление.
2) Каждые 6 минут происходит два поступления.
Решение. Средний интервал времени между поступлениями есть математическое ожидание времени между поступлениями заявок и = 1/(интенсивность поступления заявок в единицу времени).
1) λ = 
= 6 заявок в час. М(Х) = 
часа.
2) λ = 
= 20 заявок в час. М(Х) = 
часа. ►
6. Время между последовательными поступлениями клиентов в некоторый Департамент распределено по экспоненциальному закону со средним значением 0,05 часа. Управление начинает работу в 8.00 утра.
1) Определить плотность вероятности экспоненциального распределения, описывающего время между последовательными поступлениями клиентов.
2) Определите вероятность того, что до 8.15 утра клиентов в Департаменте не будет.
3) Сейчас 8.35 утра. Последний клиент прибыл в управление в 8.26. Какова вероятность того, что следующий клиент прибудет до 8.38 утра?
4) Чему равно среднее число посетителей, которые прибудут в Департамент от 8.10 до 8.45 утра?
Решение. 1) М(Х) = 
часа. Следовательно, т.к. М(х) = , то λ = 20. Тогда плотность вероятности равна
2) Промежуток времени – 15 минут, причем нужно вычислить вероятность того, что клиентов не будет. Следовательно,
= ℮ — 5 ≈ 0,00674.
3) Промежуток времени – 3 минуты, нужно вычислить вероятность того, что клиент прибудет. Поэтому
= 1 — ℮ — 1 ≈ 0,6321.
4) Т.к. средняя интенсивность λ, т.е. количество клиентов за час, равна 20 посетителей, а нам нужно вычислить количество посетителей за 35 минут, имеем пропорцию
1 час – 20 посетителей,
часа – х посетителей,
откуда х = 
≈ 11,67. ►
7. Официанты О1 и О2 ресторана быстрого питания в ожидании посетителей заняты следующей игрой: если в течение одной минуты в ресторан не прибудет ни один посетитель, О1 платит 2 цента О2, в противном случае 2 цента от О2 получает О1. Требуется вычислить средний выигрыш официанта О1 за восьмичасовую смену. Время между приходами посетителей распределено по экспоненциальному закону со средним значением 1,5 минуты.
Решение. Среднее значение, т.е. математическое ожидание М(Х) = 
минуты, следовательно, λ = 
посетителя в минуту. Нам нужно вычислить вероятность того, что в данную минуту не придет ни один посетитель, т.е.
≈ 0,5117.
Получили, что каждую минуту официант О1 может заплатить 2 цента с вероятностью 0,5117 и может получить 2 цента с вероятностью 0,4883. Тогда его средний выигрыш за одну минуту будет равен
(-2)· 0,5117 + 2·0,4883 = – 0,047 цента в минуту.
За восьмичасовую смену получаем (– 0,047) · 60 · 8 = – 22,56.
Таким образом, за восьмичасовую смену официант О1 в среднем проигрывает 22,56 цента. ►
Дата добавления: 2016-07-29 ; просмотров: 1897 | Нарушение авторских прав
