Как найти среднее гармоническое чисел

Предлагаемая здесь программа, помимо расчета среднего гармонического, умеет еще и приводить исходные данные к стандартному виду, а так же упорядочивать их по возрастанию или убыванию.

Рис.1. Гармонический ряд и среднее гармоническое

Среднее гармоническое от двух реже трех чисел используется в математике не менее двух с половиной тысяч лет (возможно более 4000 лет). Свойства средних гармонических, арифметических и геометрических величин для двух чисел были детально изучены еще пифагорейцами, поэтому они так же называются классическими пифагорейскими средними.

Свое название среднее гармоническое получило благодаря замечательному свойству гармонического ряда: каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее обратно-пропорциональное от двух соседних членов (рисунок). Это свойство гармонического ряда было известно еще во времена Аристотеля.
.

В свете современных представлений:

Среднее гармоническое значение множества положительных вещественных чисел определяется как результат деления количества этих чисел на сумму их обратных величин:

Таким образом, мы имеем дело исключительно с положительными вещественными числами a _i > 0.
Среднее гармоническое является частным случаем среднего степенного с показателем степени d = — 1.

Среднее степенное значение s_d порядка (степени) d от множества заданных чисел a ₁ + a ₂ + …+ a _n определяется формулой:

Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x 1 , … , x n <displaystyle x_<1>,ldots ,x_> , тогда их средним гармоническим будет такое число H <displaystyle H> , что

n H = 1 x 1 + … + 1 x n <displaystyle <frac >=<frac <1><1>>>+ldots +<frac <1>>>> .

Можно получить явную формулу для среднего гармонического:

H ( x 1 , … , x n ) = n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n = 1 1 n ∑ i = 1 n 1 x i <displaystyle H(x_<1>,ldots ,x_)=<frac <<frac <1><1>>>+<frac <1><2>>>+cdots +<frac <1>>>>>=<frac <1><<frac <1>>sum limits _^<frac <1>>>>>> ,

т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x 1 , … , x n <displaystyle x_<1>,ldots ,x_> .

Свойства [ править | править код ]

• Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min ( x 1 , … , x n ) ⩽ H ( x 1 , … , x n ) ⩽ max ( x 1 , … , x n ) <displaystyle min(x_<1>,ldots ,x_)leqslant H(x_<1>,ldots ,x_)leqslant max(x_<1>,ldots ,x_)>.
• Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
• Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:

H ( x 1 , … , x n ) = A − 1 ( x 1 − 1 , … , x n − 1 ) <displaystyle H(x_<1>,ldots ,x_)=A^<-1>(x_<1>^<-1>,ldots ,x_^<-1>)>и A ( x 1 , … , x n ) = H − 1 ( x 1 − 1 , … , x n − 1 ) <displaystyle A(x_<1>,ldots ,x_)=H^<-1>(x_<1>^<-1>,ldots ,x_^<-1>)>(когда последнее определено).

• Неравенство о средних утверждает, что среднее гармоническое чисел не превосходит среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее квадратическое, причём все средние равны только в случае равенства всех чисел x 1 = … = x n , <displaystyle x_<1>=ldots =x_

,>то есть:

H ≤ G ≤ A ≤ S , <displaystyle Hleq Gleq Aleq S,>где H <displaystyle H>— среднее гармоническое; G <displaystyle G>— среднее геометрическое; A <displaystyle A>— среднее арифметическое; S <displaystyle S>— среднее квадратическое.

Взвешенное среднее гармоническое [ править | править код ]

Пусть есть набор неотрицательных чисел x 1 , … , x n <displaystyle x_<1>,ldots ,x_

> и набор чисел w 1 , … , w n <displaystyle w_<1>,ldots ,w_> , где w i <displaystyle w_> называется весом величины x i <displaystyle x_> . Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число

;w_<1>,ldots ,w_)=<frac <1>+ldots +w_><<frac <1>><1>>>+ldots +<frac >>>>>> .

Легко заметить, что при w 1 = … = w n ≠ 0 <displaystyle w_<1>=ldots =w_

eq 0> (то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.

Приложения и примеры [ править | править код ]

В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.

Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).

Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).

Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равно среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.

Ответ или решение 1

Среднее гармоническое (ряда) вычисляется делением количества чисел (в ряду) на сумму возведенных в степень (-1) чисел. А так как число, возведенное в степень (-1) соответствует дроби, которая в числителе имеет единицу, а в знаменателе это число, то среднее гармоническое чисел 3 и 5 будет равно:

2 / (3 -1 + 5 -1 ) = 2 / ((1/3) + (1/5)) = 2 / ((5/15) + (3/15)) = 2 / (8/15) = 2 * 15 / 8 = 15/4 = 3 3/4 = 3,75.

Ответ: среднее гармоническое чисел 3 и 5 равно 3,75.