Многоугольник – это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, не имеющей самопересечений.
Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины – вершинами многоугольника.
Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.
Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью – пятиугольником и т. д.
Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE :
В пятиугольнике ABCDE точки A, B, C, D и E – это вершины пятиугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE и EA – стороны пятиугольника.
Выпуклые и вогнутые
Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым:
Периметр
Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.
Периметр многоугольника ABCDE равен:
Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным. Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.
Диагональ
Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:
Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.
Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:
Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:
где t – это количество треугольников, а n – количество сторон.
Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить.
Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять каких-либо точек и соединить их последовательно отрезками.
 |
|
При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).
Многоугольник с сторонами называют -угольником.
Произвольные многоугольники
Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.
А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?
Посмотри внимательно на второй многоугольник — он по-существу отличается от всех остальных. Чем же? Он не выпуклый. Это конечно математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.
Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.
Итак, основной факт:
 |
В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна , где буква « » означает число углов многоугольника. |
Давай сразу к примерам:
Четырехугольник
 |
Пятиугольник
 |
Шестиугольник
 |
Ах да, про треугольник забыли.
Треугольник
 |
А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула . Зачем? Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников. Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.
Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:
 |
Всего вершин: Из вершины можем провести диагонали во все вершины, кроме:
|
Значит всего диагоналей . А на сколько треугольников распался наш многоугольник?
Представь себе: на . Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.
Итак, у нас ровно треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно .
Ну вот, треугольника, в каждом по , значит:
| Сумма углов многоугольника равна |
Что же из этого может оказаться полезным? А вот что:
- Разделение на треугольники.
- Осознание того, что если провести какую-нибудь диагональ, то получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.
Вот смотри, был -угольник:
 |
Его сумма углов . Провели диагональ, скажем : |
Получился пятиугольник и семиугольник . Сумма углов равна , а сумма углов равна . А вместе : — все сошлось! Ну и на этом о произвольных многоугольниках – хватит.
Правильные многоугольники
| Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны. |
Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.
Первый вопрос:
А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?
И ответ: можно!
Давай посмотрим на примере.
Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:
 |
Сумма всех его углов равна . А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые. |
Значит любой угол, скажем можно найти:
Что мы еще должны знать?
| Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. |
При этом центры этих окружностей совпадают.
Смотри как это выглядит!
И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.
Давай опять на примере восьмиугольника. Посмотри на . В нем
Значит, — и это не только в восьмиугольнике!
Чему же равен в нашем случае ?
Ровно половине , представь себе!
Значит . Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника .
Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки ? И тот же ответ: конечно можно! Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти (то есть ).
Мы знаем, что в сумма углов равна . Значит:
И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.
МНОГОУГОЛЬНИКИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять каких-либо точек и соединить их последовательно отрезками.
|
|
Многоугольник с сторонами называют -угольником .
Например: многоугольник c сторонами называют четырехугольником , многоугольник с сторонами — шестиугольником и так далее по аналогии.
Четырехугольник  |
Шестиугольник  |
 |
|
Сумма внутренних углов выпуклого n -угольника равна или , где — внутренний угол многоугольника.
Правильный выпуклый многоугольник — многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.
Внутренний угол правильного -угольника равен .
|
|
Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.
Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой: , где .
P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это — не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время.
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник "YouClever" (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки "100gia".
Условия их приобретения изложены здесь. Кликните по этой ссылке, приобретите доступ к YouClever и 100gia и начните готовиться прямо сейчас!
И в заключение.
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Ответ
Проверено экспертом
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, стороны ломаной — сторонами многоугольника.
Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон.
Выпуклый многоугольник — это многоугольник, лежащий по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.
Формула суммы углов выпуклого многоугольника:
180°(n — 2)
Отметим произвольную точку О внутри выпуклого многоугольника и соединим ее с вершинами. Получили n треугольников. Сумма углов одного треугольника равна 180°, а всех треугольников 180°·n.
Угол при вершине О составляет 360°. Отнимем его от суммы углов треугольников и получим сумму углов выпуклого многоугольника:
