Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.
Определение понятия логарифм
Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.
Разберем конкретный пример: а log a x = x, где a › 0, a ≠ 1.
Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:
- Если a › 1, то для x › 1 logax › 0 и для 0 ‹ x ‹ 1 logax ‹ 0.
- Если 0 ‹ а ‹ 1, то для x › 1 logax ‹ 0 и для 0 ‹ x ‹ 1 logax › 0
- Если а › 0 и а ≠ 1, то loga1 = 0
- Если а › 0 и а ≠ 1, то logaa = 1
- Если x1 = x2, то logax1=logax2, где а › 0 и а ≠1
- Логарифм произведения равен сумме логарифмов.
- Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
- Логарифм степени равен логарифму основания, умноженному на показатель степени.
- Основание логарифма можно поменять по формуле:
- Если возвести основание и аргумент логарифма в одну и ту же степень, то его значение не измениться.
Логарифмирование
Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.
Функция логарифма и ее свойства
Логарифмическая функция имеет вид
Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.
Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:
- область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
- ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка ( — ∞; +∞);
- если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
- если основание логарифма 0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
- логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
- кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).
Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере
Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.
Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y= а x . Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.
Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.
Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log2x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.
В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log2(x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.
Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.
Примеры решения типовых задач ЕГЭ
Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.
Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.
Задание 1
F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.
Поэтому график y=-log3x убывает на всей области определения, а y= -log(1/3)x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.
Ответ: 3,4,5.
Задание 2
Ответ: 4.
Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.
Задание 3.
Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.
Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:
Ответ: область определения D(x) – интервал (50; + ∞).
Задание 4.
Ответ: 3, 1, оси OX, направо.
Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 — 4 балла.
Задание 5. Найти область значений для функции:
Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств:
Итак, искомый промежуток находится в пределе интервала (-4; 8), при других x становится невозможным вычислить значение одного из данных логарифмических выражений.
Согласно свойствам логарифмической функции сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов.
Графиком функции y = — x 2 + 4x + 32 является парабола, схематический график которой представлен ниже.
Точка A является экстремумом графика, в ней y принимает наибольшее значение. Координаты точки A (m; n) вычисляются по формулам, приведенным на рисунке. Высчитаем n для заданной параболы.
Наибольшее значение ymax = 36. Так как основание логарифма в примере больше 1, то функция будет возрастающей, и достигнет наибольшего значения при максимальном аргументе. Узнаем максимум для F(y):
Наименьшего значения в конкретном примере нет, поэтому ОДЗ для f(x) = log3(x+4)+ log3(8-x) является следующий интервал (- ∞; 2log36).
Подобные задачи можно отнести к категории «сложно» и оценивать не менее 4 баллов за правильный ответ.
Идёт приём заявок
Подать заявку 
Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Выбранный для просмотра документ Конспект урока.doc
Разработка урока обобщения и систематизации знаний в 11 классе по теме « Логарифмическая функция. Преобразования графика логарифмической функции»
Приёмы и методы
Организация начала урока
Приветствует, проверяет готовность к уроку, организует внимание
Подготовка учащихся : сообщение темы ( проблемы). Исторический материал и связь с окружающим миром – для развития интереса к предмету
Словесный, фронтальная беседа, словесно-наглядный с применением презентаций учащегося
Предлагает план работы на уроке.
Учащиеся с помощью презентации рассказывают о связи логарифмической функции с окружающим миром
Проверка готовности к уроку по материалу предыдущего урока ( самими учащимися)
Индивидуальный интерактивный тест с последующей самопроверкой
Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся
Обобщение отдельных фактов , понятий
Построение графика логарифмической функции путем несложных преобразований
Фронтальный анализ, словесно-наглядный с применением презентаций Самостоятельная работа с проверкой
Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся, организует проверку, демонстрируя параллельный перенос с помощью презентации
Обобщение отдельных фактов , понятий
Построение графика логарифмической функции путем сложных преобразований
Фронтальный анализ и обобщение
Самостоятельная работа с проверкой
Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся, организует проверку с помощью документ- камеры
Применение построений графиков при решении уравнений и неравенств
Работа у доски, самостоятельная работа
Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся, организует проверку
Подведение итогов урока . Рефлексия
Словесный анализ, фронтальная
Задает вопросы, отвечая на которые учащиеся анализируют свою работу
Логарифмическая функция. Преобразования графика логарифмической функции
Цель урока (учебная, развивающая, воспитательная)
Образовательные: совершенствовать навыки построения графиков сложных логарифмических функций; уметь применять их при графическом решении уравнений и неравенств.
Развитие мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций
Сознательного восприятия учебного материала
Развитие математической речи учащихся, потребности к самообразованию
Способствовать развитию исследовательской деятельности учащихся
Развитие интереса к предмету
Воспитание познавательной активности
Чувства ответственности, уверенности в себе, воспитание культуры общения
Основные термины и понятия для изучения
Логарифм, свойства логарифма, логарифмическая функция, ее свойства
Ноутбуки персональные, документ-камера, карточки с заданиями, листы оценивания, презентации, интерактивный тест.
Методические приемы мотивации обучения
Использование ИКТ, презентации составленные учащимися
Методические приемы проверки домашнего задания
Выступление ученика с демонстрацией материала по презентации «Логарифмическая функция в окружающем нас мире»
Тема: Логарифм, его свойства, логарифмическая функция, ее свойства и график
«В науке нет широкой столбовой дороги, и только тот достигнет ее сияющих вершин, кто, не страшась усталости, карабкается по ее каменистым тропам»
Цели урока:
Образовательные: совершенствовать навыки построения графиков логарифмических функций; уметь применять их при графическом решении уравнений и неравенств.
Развитие мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций
Сознательного восприятия учебного материала
Развитие математической речи учащихся, потребности к самообразованию
Способствовать развитию исследовательской деятельности учащихся
Развитие интереса к предмету
Воспитание познавательной активности
Чувства ответственности, уверенности в себе, воспитание культуры общения
Ресурсы урока: Карточки с заданиями, интерактивный тест, презентации, лист оценивания.
Тип урока : Комбинированный
Форма урока: Классно-урочная
Форма работы: фронтальная, индивидуальная.
Технология: Личностно-ориентированная; информационно-коммуникативная
Организационный момент (сообщение темы урока, цель урока, что должны знать и уметь).
Осуществление межпредметных связей (сообщение учащегося)
Обобщение ранее изученного материала. Проверка готовности к изучению материала (индивидуальное тестирование).
Изучение и закрепление нового материала
Применение нового материала
Организационный момент (приветствие, проверка готовности учащихся к уроку).
Тема сегодняшнего нашего урока «Логарифмическая функция. Преобразование графика».
Наша цель научиться строить графики логарифмических функций с помощью преобразований и применять их в решении уравнений и неравенств.
Будем работать по следующему плану:
Узнаем о связи логарифмической функции с окружающим миром.
Проверка готовности к уроку с помощью тестирования
Построение графиков логарифмической функции +самостоятельная работа
Графическое решение уравнений и неравенств + самостоятельная работа
На уроке вы должны быть активными, так как ваша оценка за урок будет складываться из количества баллов набранных вами за урок. Критерии оценок посмотрите в листах оценивания.
Осуществление межпредметных связей (сообщение учащегося)
Обобщение ранее изученного материала. Проверка готовности к изучению материала (индивидуальное тестирование). Вопросы по тестированию есть? При рассмотрении примеров были ли у вас трудности?
Изучение и закрепление нового материала
Напомните как построить график графики функций y = log 3( x ), y = log 0,3( x )
Как получить графики функции y = log 3( x – 1) , y = log 0,3( x )+3. Учитель обсуждает с учащимися сделанные выводы и дает задание построить самостоятельно графики функций y = log 3( x -3), y = log 3( x )+2, y = log 3( x +4) – 2. Ученики комментируют построение и проверяют с помощью презентации.
А как построить графики следующих функций y = log 3(ǀ x ǀ), y =ǀ log 3(ǀ x ǀ)ǀ, y = ǀ log 3(ǀ x ǀ)ǀ
Обсуждается способ построения каждой функции, общие и отличительные черты в построении. Строятся графики на доске. Учитель предлагает учащимся самостоятельно построить графики следующих функций по выбору y = log 3(ǀ x -2ǀ),, y = ǀ- log 3(ǀ- x ǀ)ǀ-2. Комментируют построение и проверяют с помощью документ-камеры.
Применение нового материала
Выполнение у доски №29(а), 30(б), 31(б), 47(а), 48(б). Учащиеся обсуждают, делают выводы и выполняют самостоятельно на выбор задания
(x + 3) 2 = log 2(x-2), (x + 3) 2 ˃ log 2(x-2), (x + 3) 2 ≥log 2(x-2)
или 
-2= log 2( x -2), -2 ˃ log 2( x -2), -2≥ log 2( x -2). Комментируют решение и проверяют с помощью документ-камеры.
Подведение итогов. Объявление оценок.
Определение логарифма
В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: 0,; a
e 1" style="width:105px;height:19px;vertical-align:-10px;background-position: -343px -555px;"> .
Десятичный логарифм – это логарифм по основанию числа 10 : lg x ≡ log10 x .
Натуральный логарифм – это логарифм по основанию числа e : ln x ≡ log e x .
Графики логарифма
График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x . Слева изображены графики функции y = log a x для четырех значений основания логарифма: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 1 логарифм монотонно убывает.
Свойства логарифма
Область определения, множество значений, возрастание, убывание
Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.
| 1" style="width:41px;height:13px;vertical-align:-6px;background-position: -658px -110px;"> | ||
| Область определения | ||
| Область значений | – ∞ | – ∞ |
| Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Нули, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | нет | нет |
| + ∞ | – ∞ | |
| – ∞ | + ∞ |
Частные значения
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:
Основные формулы логарифмов
Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Логарифмирование – это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование – это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.
Доказательство основных формул логарифмов
Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.
Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.
Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b , имеем:
Обратная функция
Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .
Если 0,;a>0,;a
e 1)" style="width:269px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -0px -513px;"> , то
Если 0,;a
e 1)" style="width:184px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position: -484px -513px;"> , то
Производная логарифма
Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.
;
.
Интеграл
Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: .
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z:
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n — целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.
Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 26-03-2014 Изменено: 03-12-2018
