В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:
- определение компланарных векторов;
- условия компланарности векторов;
- примеры задач на компланарность векторов.
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.
Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.
Условия компланарности векторов
- Для 3-х векторов выполняется условие: если смешанное произведение 3-х векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
- Для 3-х векторов выполняется условие: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
- Для n-векторов выполняется условие: если среди векторов не более 2-х линейно независимых векторов, то они компланарны.
Примеры решения задач на компланарность векторов
Исследуем на компланарность векторы
a ¯ = ( 1 ; 2 ; 3 ) , b = ( 1 ; 1 ; 1 ) и c ¯ = ( 1 ; 2 ; 1 )
Как решить?
Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:
( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 2 3 1 1 1 1 2 1 = = 1 × 1 × 1 + 1 × 2 × 3 + 2 × 1 × 1 — 1 × 1 × 3 — 2 × 1 × 1 — 1 × 2 × 1 = 2 ≠ 0
Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.
Ответ: векторы не являются компланарными.
Докажем, что три вектора
a ¯ = ( 1 ; — 1 ; 2 ) , b = ( 0 ; 1 ; — 1 ) и c ¯ = ( 2 ; — 2 ; 4 ) компланарны.
Как решить?
Находим смешанное произведение данных векторов:
( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 — 1 2 0 1 — 1 2 — 2 4 = = 1 × 1 × 4 + 0 × ( — 2 ) × 2 + ( — 1 ) × ( — 1 ) × × 2 — 2 × 1 × 2 — ( — 2 ) × ( — 1 ) × 1 — 0 × ( — 1 )
Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.
Ответ: векторы являются компланарными.
Проверим, компланарны ли векторы
Как решить?
Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:
1 1 1 1 2 0 0 — 1 1 3 3 3
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:
1 1 1 1 — 1 2 — 1 0 — 1 0 — 1 1 3 — 3 3 — 3 3 — 3
1 1 1 0 1 — 1 0 — 1 1 0 0 0
К 3-ей строке прибавляем 2-ю:
1 1 1 0 1 — 1 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) 3 — 3 3 — 3 3 — 3
1 1 1 0 1 — 1 0 0 0 0 0 0
Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.
Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто проверить являются ли три вектора компланарными.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на проверку компланарности трех векторов и закрепить пройденый материал.
- Калькулятор
- Инструкция
- Теория
Калькулятор для проверки компланарности векторов
Ввод данных в калькулятор для проверки компланарности векторов
Из имеющихся у вас данных введите значения трех векторов которые будут проверяться на компланарность. После нажатия кнопки "Проверить компланарны ли три вектора" вы получите детальное решение задачи.
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для проверки компланарности векторов
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши "влево" и "вправо" на клавиатуре.
Теория. Компланарность векторов
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
 |
| рис. 1 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
Примеры задач на компланарность векторов
Решение: найдем смешанное произведение векторов
| = | ||
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 1 |
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
| = | ||
| 1 | 3 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 — 1·2·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 6 + 2 + 2 — 6 — 2 — 2 = 0
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования
 |
1 | 1 | 1 |  |
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
к 3-тей строке добавим 2-рую
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
