Магический квадрат из 36 простых чисел

нПЦОП МЙ УПУФБЧЙФШ НБЗЙЮЕУЛЙК ЛЧБДТБФ ЙЪ РЕТЧЩИ 36 РТПУФЩИ ЮЙУЕМ?
нБЗЙЮЕУЛЙК ЛЧБДТБФ – ЬФП ЛЧБДТБФОБС ФБВМЙГБ, ЪБРПМОЕООБС ЮЙУМБНЙ, Ч ЛПФПТПК УХННЩ ЮЙУЕМ ЧП ЧУЕИ УФТПЛБИ Й УФПМВГБИ ТБЧОЩ.

тЕЫЕОЙЕ

уН. ТЕЫЕОЙЕ ЪБДБЮЙ 104082.

пФЧЕФ

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Задача 16:

Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

Решение:

Задача 17:

Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

Решение:

На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна.

Задача 18:

Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Решение:

Среди этих чисел – четное число «минус единиц», а для того, чтобы сумма равнялась нулю, их должно быть ровно 11.

Задача 19:

Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

Решение:

Среди этих чисел одно (2) – четное, а остальные – нечетные. Поэтому в той строке, где стоит двойка, сумма чисел нечетна, а в других – четна.

Задача 20:

В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки « + » и « – » так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

Замечание: учтите, что отрицательные числа также бывают четными и нечетными.

Решение:

В самом деле, сумма чисел от 1 до 10 равна 55, и изменяя в ней знаки, мы меняем все выражение на четное число.

Задача 21:

Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

Решение:

Указание: Сумма 1 + 2 + … + 1985 нечетна.

Задача 22:

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Решение:

Проверьте, что при указанных операциях четность суммы всех написанных на доске чисел не меняется.

Задача 23:

Можно ли покрыть шахматную доску доминошками 1 × 2 так, чтобы свободными остались только клетки a1 и h8?

Решение:

Каждая доминошка покрывает одно черное и одно белое поле, а при выкидывании полей a1 и h8 черных полей остается на 2 меньше, чем белых.

Задача 24:

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.

Решение:

Разберите два случая: сумма первой и последней цифр числа меньше 10, и сумма первой и последней цифр числа не меньше 10. Если допустить, что все цифры суммы – нечетны, то в первом случае не должно быть ни одного переноса в разрядах (что, очевидно, приводит к противоречию), а во втором случае наличие переноса при движении справа налево или слева направо чередуется с отсутствием переноса, и в результате мы получим, что цифра суммы в девятом разряде обязательно четна.

Задача 25:

В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?

Решение:

Так как на каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 – нечетное число.

Задача 26:

На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

Решение:

Для любой точки X, лежащей вне AB, имеем AX – BX = ± AB. Если предположить, что суммы расстояний равны, то мы получим, что выражение ± AB ± AB ± … ± AB, в котором участвует 45 слагаемых, равно нулю. Но это невозможно.

Задача 27:

По кругу расставлено 9 чисел – 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

Решение:

Ясно, что комбинация из девяти единиц раньше, чем девять нулей, получиться не может. Если же получилось девять нулей, то на предыдущем ходу нули и единицы должны были чередоваться, что невозможно, так как их всего нечетное количество.

Задача 28:

25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – мальчики.

Решение:

Проведем наше доказательство от противного. Занумеруем всех сидящих за столом по порядку, начиная с какого-то места. Если на k-м месте сидит мальчик, то ясно, что на (k – 2)-м и на (k + 2)-м местах сидят девочки. Но поскольку мальчиков и девочек поровну, то и для любой девочки, сидящей на n-м месте, верно, что на (n – 2)-м и на (n + 2)-м местах сидят мальчики. Если мы теперь рассмотрим только тех 25 человек, которые сидят на «четных» местах, то получим, что среди них мальчики и девочки чередуются, если обходить стол в каком-то направлении. Но 25 – нечетное число.

Задача 29:

Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

Решение:

Ясно, что количество a участков, на которых улитка ползла вверх или вниз, равно количеству участков, на которых она ползла вправо или влево. Осталось только заметить, что a – четно.

Задача 30:

Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?

Решение:

Обозначим кузнечиков A, B и C. Назовем расстановки кузнечиков ABC, BCA и CAB (слева направо) – правильными, а ACB, BAC и CBA – неправильными. Легко видеть, что при любом прыжке тип расстановки меняется.

Задача 31:

Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Решение:

Нужно отложить данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по 50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то монета фальшивая.

Задача 32:

Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1 до 9 так, чтобы между единицей и двойкой, двойкой и тройкой, …, восьмеркой и девяткой было нечетное число цифр?

Решение:

В противном случае все цифры в ряду стояли бы на местах одной и той же четности.

Поскольку 2013, 15 и 77 — нечётные числа, их произведение тоже нечётно (вспомните предыдущее занятие!), то есть не делится на 2. Поскольку 80 делится на 2, все числа, делящиеся на 80, должны быть чётными. Значит, число 2013 · 15 · 77 не делится также и на 80.

Число 15 делится на 3, поэтому и всё произведение делится на 3. На 9 ни один из сомножителей не делится, зато два из них (15 и 2013) делятся на 3, поэтому всё произведение делится на 9 (ведь 9 = 3·3). Аналогично, поскольку 15 делится на 5, а 77 делится на 7, произведение делится на 35 = 5·7; поскольку 15 делится на 5, а 77 делится на 11, произведение делится на 55 = 5·11; поскольку 2013 делится на 2013, а 3 делится на 3, произведение делится на 6039 = 2013·3.

Сначала заметим, что среди всех простых чисел только одно чётное — это число 2. Действительно, любое другое чётное натуральное число делится, кроме единицы и самого себя, ещё и на 2, и потому не является простым.

Теперь предположим, что магический квадрат удалось составить из первых 25 простых чисел. Среди них есть двойка, а остальные 24 числа — нечётные. В той строке, где окажется двойка, сумма всех чисел будет чётной, ведь там одно чётное число и четыре нечётных. Во всех остальных строках все числа будут нечётными, а сумма пяти нечётных слагаемых также нечётна. Поэтому сумма чисел во всех строках не может оказаться одинаковой. Полученное противоречие доказывает, что магический квадрат невозможно составить из первх 25 простых чисел.

Сначала заметим, что последняя цифра произведения нескольких чисел равна последней цифре произведения их последних цифр (это следует, например, из правила умножения в столбик). Теперь найдём последнюю цифру числа 111 999 . Так как это произведение 999 сомножителей, каждый из которых равен 111 (и имеет последнюю цифру 1), его последняя цифра равна последней цифре произведения 999 единиц, то есть тоже 1. А если от этого числа отнять единицу, то у разности последняя цифра будет 0. Значит, это число делится на 10 (а заодно и на 2).

Замечание. Ответ на первый вопрос задачи можно было получить проще. Число 111 нечётное, поэтому при возведении в степень (то есть при умножении само на себя несколько раз) тоже будет давать нечётное число. Число 1 также нечётно. А разность двух нечётных чисел чётна, то есть делится на 2.

а) Начнём последовательно выписывать последние цифры степеней тройки. Для нахождения последней цифры очередной степени тройки достаточно брать последнюю цифру предыдущей степени, умножать её на 3 и брать последнюю цифру результата. Получим следующую цепочку: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. (проверьте!). Видно, что на каждом четвёртом месте в этой последовательности стоит единица. Поскольку 100 делится на 4, на сотом месте тоже будет стоять единица. То есть последняя цифра числа 3 100 равна 1.

Последняя цифра числа 2011 2012 равна 1 (вспомните, например, решение задачи 6). Найдём последнюю цифру числа 2012 2013 . Как мы уже отмечали при решении задачи 6, последняя цифра произведения нескольких чисел равна последней цифре произведения их последних цифр. Поэтому последняя цифра этого числа совпадает с последней цифрой числа 2 2013 . А она равна 2 (получите это самостоятельно по аналогии с пунктом а). Теперь ясно, что последняя цифра числа 2011 2012 + 2012 2013 равна сумме последних цифр каждого из слагаемых, то есть 1 + 2 = 3.