На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по равномерному закону.
В сущности, равномерное распределение — самое простое из семейства непрерывных, и определяется тем, что плотность распределения постоянна (равна константе) на всем интервале: $f(x)=c=frac<1>, xin (a;b)$ (а вне его равна нулю):
$$ f(x)= left< egin
ight. $$
Функция распределения для нее вычисляется практически в уме:
$$ F(x)= left< egin
ight. $$
Для равномерного на интервале $(a;b)$ распределения известны формулы для числовых характеристик. Математическое ожидание $M(X)=frac<2>$, дисперсия $D(X)=frac<(b-a)^2><12>$, среднее квадратическое отклонение $sigma(X)=frac<2sqrt<3>>$.
В жизни равномерным распределением часто моделируют время ожидания транспорта, ошибки округления в пределах цены деления.
В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются равномерно распределенные случайные величины.
Примеры решений
Задача 1. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Полагая, что случайная величина $xi$ — время ожидания автобуса на остановке — распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и среднеквадратическое уклонение времени ожидания.
Задача 2. Телефонный звонок должен последовать от 10 ч до 10 ч 20 мин. Какова вероятность того, что звонок произойдет в последние 10 мин указанного промежутка, если момент звонка случаен?
Задача 3. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.
Задача 4. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 3 минут. Найти а) плотность распределения времени ожидания, б) вероятность ожидания лифта более чем 2 минуты, в) вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 15 секунд, г) среднее время ожидания лифта и дисперсию времени ожидания.
Задача 5. Случайная величина $X$ задана интегральной $F(x)$ или дифференциальной $f(x)$ функцией. Требуется:
а) найти параметр $C$;
б) при заданной интегральной функции найти дифференциальную функцию; а при заданной дифференциальной функции найти интегральную функцию;
в) построить графики функций $F(x)$ и $f(x)$;
г) найти математическое ожидание $M[X]$ дисперсию $D[X]$ среднее квадратическое отклонение $sigma[X]$;
д) вычислить вероятность попадания в интервал $P(alt X lt b)$;
е) определить, квантилем какого порядка является точка $x_p$;
ж) вычислить квантиль порядка $p$.
Задача 6. Дана плотность распределения $p(x)$ случайной величины $xi$. Найти параметр $gamma$, математическое ожидание $Mxi$, дисперсию $Dxi$, функцию распределения случайной величины $xi$, вероятность выполнения неравенства $x_1 lt xi lt x_2$. $$a=1, b=1,8, x_1=1,3, x_2=1,6.$$ $$ p(x)= left< egin
otin [gamma; 1,8].>\ end
ight. $$
Задача 7. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (1;8). Найти:
а) дифференциальную функцию,
б) интегральную функцию,
в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение,
г) вероятность попадания в интервал (3;5).
Задача 8. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: $$ F(x)= left< egin
ight. $$ Определить параметры $а$ и $b$, найти плотность вероятности, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал $[-1, 2]$. Построить графики $р(x)$ и $F(x)$.
Решебник по теории вероятности онлайн
Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:
Перейдем теперь к часто используемым на практике распределениям непрерывной случайной величины.
Непрерывная с.в. Х называется равномерно распределенной на отрезке [a,b], если плотность ее вероятности постоянна на этом отрезке, а вне его равна 0 (т.е. случайная величина Х сосредоточена на отрезке [a,b], на котором имеет постоянную плотность). По данному определению плотность равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины Х имеет вид:
,
где с есть некоторое число. Впрочем, его легко найти, используя свойство плотности вероятности для с.в., сосредоточенных на отрезке [a,b]: 
. Отсюда следует, что
, откуда
. Поэтомуплотность равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины Х имеет вид:
.
Судить о равномерности распределения н.с.в. Х можно из следующего соображения. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если она принимает значения только из этого отрезка, и любое число из этого отрезка не имеет преимущества перед другими числами этого отрезка в смысле возможности быть значением этой случайной величины.
К случайным величинам, имеющим равномерное распределение относятся такие величины, как время ожидания транспорта на остановке (при постоянном интервале движения длительность ожидания равномерно распределена на этом интервале), ошибка округления числа до целого (равномерно распределена на [−0.5, 0.5]) и другие.
Вид функции распределения F(x) равномерно распределенной отрезке [a,b] случайной величины Х ищется по известной плотности вероятности f(x) c помощью формулы их связи 
. В результате соответствующих вычислений получаем следующую формулу для функции распределенияF(x) равномерно распределенной отрезке [a,b] случайной величины Х :
.
На рисунках приведены графики плотности вероятности f(x) и функции распределения f(x) равномерно распределенной отрезке [a,b] случайной величины Х :
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана равномерно распределенной отрезке [a,b] случайной величины Х вычисляются по плотности вероятности f(x) обычным образом (и достаточно просто из-за простого вида f(x)). В результате получаются следующие формулы:
,
Найдем вероятность попадания равномерно распределенной отрезке [a,b] случайной величины Х в интервал 
, полностью лежащий внутри [a,b]. Учитывая известный вид функции распределения, получаем:
.
Таким образом, вероятность попадания равномерно распределенной отрезке [a,b] случайной величины Х в интервал 
, полностью лежащий внутри [a,b], не зависит от положения этого интервала, а зависит только от его длины и прямо пропорциональна этой длине.
Пример. Интервал движения автобуса составляет 10 минут. Какова вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, прождет автобус менее 3 минут? Каково среднее время ожидания автобуса?
Нормальное распределение
Это распределение наиболее часто встречается на практике и играет исключительную роль в теории вероятностей и математической статистике и их приложениях, поскольку такое распределение имеют очень многие случайные величины в естествознании, экономике, психологии, социологии, военных науках и так далее. Данное распределение является предельным законом, к которому приближаются (при определенных естественных условиях) многие другие законы распределения. С помощью нормального закона распределения описываются также явления, подверженные действию многих независимых случайных факторов любой природы и любого закона их распределения. Перейдем к определениям.
Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (или закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:
,
где числа а и σ (σ>0) являются параметрами этого распределения.
Как уже было сказано, закон Гаусса распределения случайных величин имеет многочисленные приложения. По этому закону распределены ошибки измерений приборами, отклонение от центра мишени при стрельбе, размеры изготовленных деталей, вес и рост людей, годовое количество осадков, количество новорожденных и многое другое.
Приведенная формула плотности вероятности нормально распределенной случайной величины содержит, как было сказано, два параметра а и σ , а потому задает семейство функций, меняющихся в зависимости от значений этих параметров. Если применить обычные методы математического анализа исследования функций и построения графиков к плотности вероятности нормального распределения, то можно сделать следующие выводы.
Плотность вероятности f(x)>0 для всех значений х, а потому график функции расположен над осью х.
Ось х является асимптотой графика при х → ± ∞, поскольку 
. Поэтому на бесконечности график «прижимается» к осих.
Функция f(х) имеет единственную точку максимума х=а, а максимальное значение 
.
График функции симметричен относительно вертикальной прямой с уравнением х=а.
С помощью второй производной можно убедиться, что точки графика
являются точками его перегиба.
Исходя из полученной информации, строим график плотности вероятности f(x) нормального распределения (он называется кривой Гаусса − рисунок).
Выясним, как влияет изменение параметров а и σ на форму кривой Гаусса. Очевидно (это видно из формулы для плотности нормального распределения), что изменение параметра а не меняет форму кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вправо или влево вдоль оси х. Зависимость от σ сложнее. Из проведенного выше исследования видно, как зависит величина максимуму и координаты точек перегиба от параметра σ . К тому же надо учесть, что при любых параметрах а и σ площадь под кривой Гаусса остается равной 1 (это общее свойство плотности вероятности). Из сказанного следует, что с ростом параметра σ кривая становится более пологой и вытягивается вдоль оси х. На рисунке изображены кривые Гаусса при различных значениях параметра σ ( σ1 2 . Таким образом, для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, получились следующие основные ее числовые характеристики:
.
Поэтому вероятностный смысл параметров нормального распределения а и σ следующий. Если с.в. Х распределена нормально с параметрами а и σ, то ее среднее значение равно а, а среднее квадратическое отклонение равно σ.
Найдем теперь функцию распределения F(x) для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, используя выписанное выше выражение для плотности вероятности f(x) и формулу 
. При подстановкеf(x) получается «неберущийся» интеграл. Все, что удается сделать для упрощения выражения для F(x), это представление этой функции в виде:
,
где Ф(х) − так называемая функция Лапласа, которая имеет вид
.
Интеграл, через который выражается функция Лапласа, тоже является неберущимися (но при каждом х этот интеграл может быть вычислен приближенно с любой наперед заданной точностью). Однако вычислять его и не потребуется, так как в конце любого учебника по теории вероятностей есть таблица для определения значений функции Ф(х) при заданном значении х. В дальнейшем нам понадобится свойство нечетности функции Лапласа: Ф(−х)= −Ф(х) для всех чисел х.
Загрузить всю книгу 
5.3.3. Равномерный и нормальный законы распределения непрерывных случайных величин
На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины называют законом распределения.
Следует рассмотреть некоторые важные для практики распределения случайных величин и соответствующие им числовые характеристики.
Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:
.
Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:
.
1. Математическое ожидание по формуле (5.11):
.
.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X , равномерно распределенной на интервале (2;6).
.
.
Среднее квадратическое отклонение:
Это распределение реализуется, например, в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на интервале [ a , b ], при этом случайная величина X – абсцисса поставленной точки.
Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х на интервале [ a , b ], определяется по формуле (5.9а).
Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х является ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления шкалы измерительного прибора, проградуированной в некоторых единицах.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что ошибка отсчета: а) превысит значение 0,04; б) меньше 0,04.
Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения по формуле (5.14) равна:
,
где (b – a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х.
Вне этого интервала f (x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей равна:
.
Тогда ошибка отсчета превысит значение 0,04, если она будет заключена в интервале (0,04; 0,2). По формуле (5.9а) вычисляется вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка превышающая значение 0,04:
.
Ошибка отсчета меньше 0,04 будет заключена в интервале (0; 0,04) с вероятностью:
.
Рис. 5.3. Плотность распределения вероятностей случайной величины, равномерно распределённой на отрезке [a;b]
Непрерывная случайная величина x имеет нормальльное распределение с параметрами: m, s > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид:
где: m – математическое ожидание, s– среднеквадратическое отклонение.
Нормальное распределение называют еще гауссовским по имени немецкого математика Гаусса [1777-1855]. Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: m,
, обозначают так: N (m,s), где: m = a = M [ X ];
Достаточно часто в формулах математическое ожидание обозначают через а. Если случайная величина распределена по закону N(0,1), то она называется нормированной или стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:
.
График плотности нормального распределения, который называют нормальной кривой или кривой Гаусса, изображен на рис.5.4.
Рис. 5.4. Плотность нормального распределения
Определение числовых характеристик случайной величины по её плотности рассматривается на примере.
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:
.
Определить вид распределения, найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
Сравнивая заданную плотность распределения с (5.16) можно сделать вывод, что задан нормальный закон распределения с m =4. Следовательно, математическое ожидание M(X)=4, дисперсия D(X)=9.
Среднее квадратическое отклонение s=3.
Функция Лапласа, имеющая вид:
,
связана с функцией нормального распределения (5.17), cоотношением:
Функции Лапласа нечётная.
Значения функции Лапласа Ф(х) табулированы и берутся из таблицы по значению х (см. Приложение 1).
Нормальное распределение непрерывной случайной величины играет важную роль в теории вероятностей и при описании реальности, имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы. На практике очень часто встречаются случайные величины, образующиеся именно в результате суммирования многих случайных слагаемых. В частности, анализ ошибок измерения показывает, что они являются суммой разного рода ошибок. Практика показывает, что распределение вероятностей ошибок измерения близко к нормальному закону.
С помощью функции Лапласа можно решать задачи вычисления вероятности попадания в заданный интервал и заданного отклонения нормальной случайной величины.
