Метод конечных разностей пример решения

Пример 1. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи:

Механически данная краевая задача описывает прогиб некоторого бруса, концы которого шарнирно закреплены симметрично от начала координат в точках x = -1,
x = 1, т.е. y(x) описывает координату прогиба стержня на участке [-1, 1] оси x (рис. 2).

Рисунок 2 – Профиль изгиба бруска.

Для грубого решения задачи выберем шаг сетки h = тогда выбирая начало отсчёта на левом конце бруска, решение данной задачи ищем на сетке:

x = -1; x₁ = ; x₂ = 0; x₃ = ; x₄ = 1;

Сравнивая данное дифференциальное уравнение (41):

с видом ДУ (2), используемым при формулировке краевой задачи (2) – (4):

заключаем, что для данной краевой задачи функции p(x), q(x) и f (x), имеют вид:

Для решения данной краевой задачи методом конечных разностей уравнение (41) заменяется во внутренних узлах сетки разностным уравнением (35):

, i = 1, 2, 3;

а функции p(x), q(x) и f (x) заменяются соответствующими сеточными значениями:

поэтому для данного случая разностное уравнение (35) перепишется в виде:

, i = 1, 2, 3. (44)

В данном случае мы имеем дело с краевой задачей первого рода, т.е. со случаем, когда краевые условия (42), (43) не содержат значений первой производной, т.е. в данном случае при стандартной записи краевых условий в виде (3), (4) имеем :

поэтому окончательно краевые условия можно переписать в виде:

Таким образом, из (44) — (46) для решения краевой задачи (41) – (43) окончательно имеем систему уравнений:

, i = 1; x₁ = ;

, i = 2; x₂ = 0;

, i = 3; x₃ = ;

Далее отметим, что в силу симметрии данной задачи (брусок прогибается симметрично относительно начала координат) заключаем, что y₃ = y₁, поэтому, рассматривая второе и третье уравнение последней системы, имеем:

;

;

отсюда при x₂ = 0; h = x₁ = ; y = 0 имеем:

;

;

Замечание. При рассмотрении метода конечных разностей в § 4 данной лекции для решения краевой задачи (2) – (4) было предложено две системы уравнений:

— первая система — уравнения (35), (37), (38);

— вторая система — уравнения (35), (39), (40);

Данные системы отличаются друг от друга формулами аппроксимации производной первого порядка в краевых условиях (2) – (4), т.е. в первой системе производные в краевых условиях аппрксимировались разностными отношениями первого порядка точности, а во второй системе разностными отношениями второго порядка точности.

Поскольку в данном примере (о профиле изгиба бруска) имеют место краевые условия первого рода, которые не содержат значений первой производной на границах отрезка, то для данного случая алгоритмы решения краевой задачи на основе первой и второй систем совпадают.

Заключение (план — аннотация лекции №25).

В лекции 8 рассмотрена общая постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Дано описание краевых условий различного типа. Приведена классификация методов решения краевых задач.

В качестве методов сведения краевых задач к начальным — к задачам Коши — рассмотрены:

— метод дифференциальной прогонки.

Рассмотрен один из универсальных методов решения краевых задач, основанный на простейших аппроксимаций производных в узлах сетки разностными отношениями первого и второго порядка точности — метод конечных разностей.

Приведен пример решения краевой задачи методом конечных разностей.

1. В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 стр.

2. Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. Численные методы анализа.
– М.: Наука, 1967. – 368 с.

3. В.Ф. Формалёв, Д.Л. Ревизников. Численные методы. – М.: Физматлит, 2004. 400 с.

Дата добавления: 2015-09-14 ; просмотров: 6744 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Методические указания по выполнению лабораторной работы в курсе “Информатика” для студентов очной и заочной форм обучения всех специальностей

Решение краевой задачи методом конечных разностей: Методические указания по выполнению лабораторной работы в курсе “Информатика” для студентов очной и заочной форм обучения всех специальностей/ СПбГАСУ; Сост.: Любимов Е.Б., Любимов Б.Е., Мовсесова Л. В. СПб., 2005. 16 c.

В этой работе рассматриваются основные вопросы и примеры решения задач, приводящихся к формату краевой задачи и рассматриваемых при изучении раздела "Вычислительная математика" в курсе "Информатика". Пособие предназначено для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения.

Табл. 4. Ил. 5. Библиогр. 4 назв.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Б. Г. Вагер (СПбГАСУ)

Решение краевой задачи методом конечных разностей

Составители: Любимов Евгений Борисович,

Любимов Борис Евгеньевич,

Мовсесова Лия Витальевна

Компьютерная верстка И.А. Яблоковой

Решение краевой задачи методом конечных разностей

Основные понятия, используемые в постановках краевых задач

В практике строительных расчетов многие математические модели, используемые для расчета конструкций, приводятся к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка, имеющим следующий вид:

К примерам задач, приводящих к уравнениям вида (1),можно отнести задачи расчетов различных балочных конструкций.

Для решения задачи, определяемой (1),необходимо задать дополнительные условия, определяющие состояние исследуемого объекта при некоторых заданных значениях координатной переменнойx. Условия, определяющие состояние объекта в заданных точкахx,называютсяграничными[1, 2, 4].

Таким образом, для нахождения решения уравнения (1) необходимо определить граничные условия. Например, следующим образом:

На конкретном примере рассмотрим алгоритм решения стационарной краевой задачи для объектов, определяемых математическими моделями представленными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка вида (1), (2).

Одним из численных методов, применяемых для решения таких уравнений, является метод конечных разностей, называемый также методом сеток. Основой этого метода является замена непрерывной области пространства изменения аргумента хна дискретное множество – "сетку" точекх_i, в которых определяются значения функцииy(x_i ) [4].

При использовании метода конечных разностей решение задачи осуществляется в результате последовательной реализации четырех этапов:

дискретизация области изменения аргумента х;

переход от непрерывной дифференциальной математической модели к конечно-разностной модели исследуемого объекта;

оформление разностного аналога краевых условий задачи;

решение полученной в результате выполнения первых трех шагов математической системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим последовательно выполнение этих этапов для разработки алгоритма решения конкретной краевой задачи.

Во-первых, для дискретизации области изменения аргумента хинтервал изменениях разделим наn равных частей. При этом формируется сетка с(n+1) равноотстоящими узлами. Расстояние между узлами (шаг сетки) равенh = (x_k ‑ x )/n, а значениях_i в узлах сетки легко вычисляются по формулех_i = х + i · h (i=0,1,2,. . . ,n).

Второй этап перехода от непрерывного дифференциального уравнения (1) к конечно-разностной модели реализуется на базе классического определения производной как предела:

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

по дисциплине «Моделирование систем»

Решение краевой задачи для ОДУ методом конечных разностей.

Краевые задачи, задачи, в которых из некоторого класса функций, определённых в данной области, требуется найти ту, которая удовлетворяет на границе (крае) этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления природы (физические, химические и др.), как правило, представляют собой решения уравнений математической физики, выведенных из общих законов, которым подчиняются эти явления. Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно задают так называемые краевые или начальные условия, позволяющие однозначно выделить интересующее нас решение. В то время, как краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут оказаться заданными на определённом множестве точек внутри области.

Для исследования краевых задач широко используются методы интегральных уравнений (потенциала), априорных оценок и конечных разностей.

Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово «конечные» используется здесь в несколько устаревшем смысле «не бесконечно малые», т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей – самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад. Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию.

Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину

где d – некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают равной 1. Разность второго порядка обозначается D2f и представляет собой разность разностей, т.е.

Продолжив этот процесс, мы получим разности более высоких порядков D3f (x), D4f (x), ј .

У истоков теории.

Хотя исследование свойств и использование конечных разностей приходится на современный период развития математики, Птолемей (ок. 150 н.э.) ввел в Альмагесте таблицу разностей первого порядка, чтобы облегчить расчеты в таблице длин хорд. Разности второго порядка использовал при вычислении своих таблиц логарифмов в 1624 Г.Бриггс. Теория интерполяции берет начало со знаменитой пятой леммы из 3-й книги Математических начал (1687) И.Ньютона, в которой впервые была приведена формула, носящая ныне его имя. Частный случай формулы Ньютона, открытый также независимо его современником Дж.Грегори (1638–1675), приведен ниже (см. формулу (7)). В общей формуле интерполяции Ньютона использовались разделенные разности, хотя этот термин, по-видимому, был введен О.де Морганом (1806–1871) в 1848. Первое применение исчисления конечных разностей к задачам теории вероятностей принято связывать с именами П.де Монтмора (1678–1719) и А.де Муавра (1667–1754).

Хотя Л.Эйлер (1707–1783) в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основания современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж.Лагранжем (1736–1813) и П.Лапласом (1749–1827). Первый из них ввел в исчисление конечных разностей символические методы, второй сделал конечные разности главным инструментом в своей Аналитической теории вероятностей (1812).

Под влиянием этих работ математики 19 в. принялись интенсивно разрабатывать предмет, и в 1860 Дж.Буль выпустил свой классический Трактат об исчислении конечных разностей. С тех пор это исчисление и круг его приложений существенно расширились. Одно из наиболее важных приложений конечные разности нашли в статистике. Особенно полезными они оказались в теории сериальной корреляции, в анализе случайных последовательностей и статистических временных рядов.

Алгоритм метода конечных разностей.

1. Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей длины, или шага

Точки разбиения называются узлами, а их совокупность – сеткойна отрезке [a,b]

2. Вводим обозначения

3. Заменим производные односторонними конечно-разностными отношениями:

Эти формулы приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a,b].

Кроме того, краевые условия дополнительно дают еще два уравнения:

Составляем матрицу уравнений, которую можно решить любым численным методом.

Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для ОДУ с точностью , h=0,1.

Разбив отрезок [1;1,3] на части с шагом h=0.1 получим 4 узловые точки с абсциссами:

две точки x0 и x3 – конечные;

две другие x1 и x2 – внутренние.

Заменим производные односторонними конечно-разностными отношениями:

Во внутренних точках (i=1,2)

=

Конечно-разностные уравнения в конечных точках:

После упрощения система принимает следующий вид:

Для нахождения корней данной системы уравнений воспользуемся методом Гаусса. (Приложение) Решением краевой задачи является:

Разработано много методов численного решения уравнений в частных производных. Наиболее часто используемые из них — методы конечных разностей и конечных элементов. В ходе данной работы изучался метод конечных разностей как один из методов решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод конечных разностей был разработан раньше остальных и на первый взгляд является наиболее простым в реализации. Идея его состоит в разбиении прямоугольной сеткой области, в которой решается уравнение, и дискретизация дифференциального оператора. Решая линейную систему уравнений, находят приближенные решения в узлах решетки. Основные трудности связаны с учетом граничных условий, если граница области имеет сложную геометрическую форму.

К недостаткам метода следует отнести плохую аппроксимацию границ сложных областей, что не слишком принципиально для уравнений теплопроводности, но довольно существенно для уравнений гидродинамики. Кроме того, метод плохо работает в случае тонкостенных отливок, когда толщина стенок становится сравнимой с шагом сетки. То есть применять данный метод стоит лишь в условиях, пригодных для решения конкретной задачи, когда ставится вопрос точности и скорости вычислений.