Приведенные выше примеры и теоремы показывают, что установить равномощность различных множеств далеко не просто. В этом параграфе мы рассмотрим примеры построения биекции между различными множествами. Будут приведены примеры доказательств равномощности ряда множеств.
Пример 1. Установить биекцию между отрезком [0, 1] и отрезком [а, в].
Решение. Легко устанавливается биективность линейного отображения x = (в – a)t + a отрезка [0, 1] на отрезок [а, в].
Пример 2. Установить биекцию между интервалом (0, 1) и интервалом (–¥, +¥).
Решение. Легко устанавливается биективность отображения x= ctg(pt) интервала (0, 1) на интервал (–¥, +¥).
Задача. Рассмотреть основные элементарные функции и найти промежутки, на которых они являются биективным отображением.
Пример 3. Построить биекцию между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1).
Решение. Решение этой задачи основано на несчетности рассматриваемых множеств и теореме 4 из параграфа 6. Идея решения состоит в том, что из интервала (0, 1) выделяют некоторое счетное множество А. Затем к нему добавляют две точки <0>и <1>. Вновь полученное множество (обозначим его В Ì [0, 1]), также является счетным. Следовательно, множества А и В равномощны и существует биекция f, отображающая B на A. Построим теперь биекцию отрезка [0, 1] на интервал (0, 1) следующим образом:
Пример 4. Построить биекцию между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1].
Схема решения. Легко устанавливается биекция между точкой окружности и углом, соответствующим этой точке. Этим получается биекция окружности и полуотрезка [0, 2p). Затем по схеме примера 3 строится биекция полуотрезка [0, 2p) на отрезок [0, 1].
Пример 5. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональные числа и координаты центра которых — рациональные числа, есть счетное множество.
Решение. Нетрудно видеть, что каждый элемент рассматриваемого множества может быть отождествлен с тройкой чисел (х, у, r), где (х, у) — координаты центра окружности, а r — ее радиус. Этим между множеством указанных окружностей и множеством Q´Q´Q устанавливается биекция. Но произведение счетных множеств счетно (см. задачу в 6 параграфе) и, следовательно, наше множество также счетно.
Пример 6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке [а, в], конечно или счетно.
Очевидно, С содержится в А, D содержится в В, причём AC=BD.
Так как А=AU(AC) и B=BU(BD), причём объединяемые множества не пересекаются, то ввиду равенства AC=BD для того чтобы решить данную задачу достаточно установить биекцию между множествами А и С.
Для этого поставим в соответствие элементу 1/n из множества С, элемент 1/(n+1) из множества В, т. е.
1 поставим в соответствие 1/2
1/2 поставим в соответствие 1/3
1/3 поставим в соответствие 1/4 и т. д.
Постройте явную биекцию между конечными строго возрастающими последовательностями нату- ральных чисел и конечными последовательностями натуральных чисел. (По определению, последова- тельности длины 0 и 1 являются возрастающими.)
задан 6 Дек ’17 2:33
Икс
3 ● 35
0% принятых
1 ответ
На примере: пусть дана строго возрастающая последовательность, скажем, 5, 7, 8, 11, 100. Сопоставляем ей 5, 2, 1, 3, 89 (сначала первое число, потом разности). Понятно, что по второй последовательности однозначно восстанавливается первая. Пустой последовательности соответствует пустая; одноэлементным соответствуют одноэлементные. Это биекция, потому что она обладает обратным отображением.
