Для доказательства достаточно достроить трапецию до параллелограмма.
В свободной параллельной проекции допустимо изображать:
— окружность любым эллипсом;
— треугольник любым треугольником;
— параллелограмм любым параллелограммом;
— четырехугольник любым четырехугольником с тем же отношением частей диагоналей;
— трапецию любой трапецией с тем же отношением оснований.
Приведем несколько примеров построения изображений правильных многоугольников, считая известными свойства каждого многоугольника.
Пример 1. Построить изображение правильного пятиугольника в свободной параллельной проекции.
Решение. Пусть A’B’C’D’E’ — правильный пятиугольник (рис. 8, а). Проведем диагонали A’C’ и B’D’ и опишем около него окружность.
2. ÐB’C’A’ =ÐB’D’C’ — как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.
Тогда 
(**)
Т.к. A’E’ || B’D’, E’D’ || A’C’, A’E’=E’D’ (из свойств правильного пятиугольника), то A’E’D’M’ — ромб, т.е. M’D’=A’E’-B’C’.
Обозначим B’C’=a, B’M’=x.
Из равенства (**) имеем 
, 
, поэтому квадратное уравнение
l 2 +l-1=0 имеет корни, из которых один не удовлетворяет условию задачи, тогда
, следовательно 
.
Отсюда получаем правило изображения правильного пятиугольника:
Проведем произвольную пару прямых, пересекающихся в точке М (рис. 8, б). На одной прямой отложим от точки М три произвольных, но равных отрезка по одну сторону и два таких же — по другую. Получаем точки B и D. Аналогичные построения для другой прямой (в общем случае откладываемые отрезки на второй прямой имеют другую длину) — точки А и С. Затем строим параллелограмм на отрезках BM и AM. Четвертая вершина параллелограмма — точка E. ABCDE — изображение правильного пятиугольника.
Пример 2. Построить изображение правильного шестиугольника.
Решение. Пусть A’B’C’D’E’F’ — правильный шестиугольник (рис. 9, а).
Опишем около него окружность и проведем отрезки A’D’, B’F’, C’E’. Тогда увидим, что диагональ A’D’ разделилась точками G’, H’, O’ (центр описанной окружности) на 4 равные части, причем B’C’||C’E’||F’E’, A’B’||E’D’, C’D’||A’F’, B’F’||C’E’. (1)
Тогда изобразить правильный шестиугольник можно следующим образом (рис. 9, б):
Рис.9,б произвольный отрезок AD делим на 4 равные части, получаем точки G, O, H. Учитывая условия (1), присущие оригиналу, достраиваем изображение ABCDEF.
Замечание 1.Существуют и другие способы построения правильного шестиугольника. Например, зная, что B’C’E’F’ — прямоугольник, изобразим его произвольным параллелограммом BCEF и достроим до шестиугольника, исходя из свойств оригинала A’B’C’D’E’F’, которые сохранятся при параллельном проектировании.
Выявив некоторые признаки, присущие оригиналу — это могут быть как алгебраические равенства (пример 1), так и геометрические свойства (пример 2) — мы переносим их на изображение. Это относится и к построению изображений многоугольников, вписанных в окружность (или описанных около нее).
Замечание 2.При построении фигур, вписанных или описанных около окружности, зная, что изображением окружности является эллипс, а взаимно перпендикулярные диаметры окружности перейдут в сопряженные диаметры эллипса, помещают вершины (одну или несколько) в концы сопряженных диаметров и рассматривают расположение многоугольника относительно сопряженных диаметров, а затем переносят эти свойства на изображение.
Теорема Польке-Шварца. Любой плоский четырехугольник ABCD вместе с его диагоналями (сплошной и пунктирной) может служить параллельной проекцией тетраэдра A’B’C’D’, если только не все вершины четырехугольника лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть задан произвольный плоский четырехугольник ABCD (рис.10, а). Докажем, что он может служить параллельной проекцией тетраэдра A’B’C’D’ (рис.10, б). Выберем на ребрах тетраэдра B’C’ и A’D’ точки K’ и M’ из условий:
В статье “Параллельное проектирование как метод изображения пространственных фигур на плоскости” было рассказано о сути метода параллельного проектирования и его свойствах. Но как показывает практика, учащимся трудно воспринимать теоретические выкладки без демонстрации на конкретных примерах.
В данной статье покажем, как использовать свойства параллельного проектирования и свойства известных школьникам плоских фигур (треугольника, параллелограмма, трапеции, круга и шестиугольника) для изображения этих фигур при параллельном проектировании.
1. Изображение треугольника
1) Любой треугольник (прямоугольный, равнобедренный, правильной) изображается произвольным треугольником в удобном расположении на рисунке.
2) Если ΔA1B1C1 – прямоугольный, то изображение направлений двух его высот (катетов) задано. Произвольно изображаются высота, опущенная на гипотенузу, и центр вписанной окружности. Изображение перпендикуляра, опущенного из заданной точки гипотенузы на какой-либо катет, является отрезком, параллельным другому катету.
3) Если ΔA1B1C1 – равнобедренный, то изображение медианы B1D1 является изображением высоты и биссектрисы ΔA1B1C1 . Изображение центра вписанной и описанной окружностей принадлежат BD.
4) Если ΔA1B1C1 – правильный (равносторонний), то центры вписанной и описанной окружностей совпадают и лежат в точке пересечения медиан. Поэтому построение изображения этого треугольника не может быть произвольным, если задан, например, центр одной из этих окружностей.
2. Изображение параллелограмма
Любой заданный параллелограмм A1B1C1D1 (включая прямоугольник, квадрат, ромб) может быть изображен произвольным параллелограммом ABCD.
На изображении произвольного параллелограмма изображения двух его высот, проведенных из одной вершины, можно построить произвольно. Причем высоты, проведенные из вершины острого угла параллелограмма – оригинала, лежат вне параллелограмма, а высоты, проведенные из вершины тупого угла – внутри него.
1) Если A1B1C1D1 – ромб, то на изображении определяется пара взаимно перпендикулярных прямых – это диагонали ABCD. Поэтому произвольно можно построить изображение только лишь одной высоты из данной вершины ромб на его сторону.
При изображении другой высоты ромба учитывают, что основания этих высот лежат на прямой, параллельной диагонали ромба.
Аналогично изображаются перпендикуляры, опущенные на стороны ромба из любой точки его диагонали.
2) Если A1B1C1D1 – квадрат, то его изображение – произвольный параллелограмм ABCD. Причем изображения высот, биссектрис, углов, перпендикуляров к сторонам строить произвольно нельзя.
3. Изображение трапеции
Любая трапеция A1B1C1D1 (а также равнобокая и прямоугольная) может быть изображена произвольной трапецией ABCD.
1) Если A1B1C1D1 — трапеция общего вида, то изображение ее высоты и одного из перпендикуляров, опущенных из точки основания на боковые стороны, можно строить произвольно.
2) Если A1B1C1D1 — прямоугольная трапеция, то C1B1 ⊥ A1B1, изображение высоты трапеции уже задано на рисунке, поэтому произвольно может быть изображен лишь перпендикуляр к наклонной боковой стороне.
3) Если A1B1C1D1 — равнобокая трапеция (есть ось симметрии), то изображением высоты является отрезок, соединяющий середины верхнего и нижнего оснований трапеции (или ему параллельный).
4. Изображение окружности
Параллельной проекцией окружности является эллипс. Центром окружности на изображении является точка пересечения сопряженных диаметров эллипса. Два диаметра окружности (эллипса) называются сопряженными , если каждый из них делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру.
4. Изображение правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник A1B1C1D1E1F1 изображается так: сначала изображается произвольный параллелограмм BCEF и проводятся его диагонали BE и CF; затем от точки их пересечения О откладываются равные отрезки произвольной длины (но большей половины стороны ВС) параллельно сторонам BC и EF. Концы построенных отрезков – это вершины A и D.
Итак, мы рассмотрели всевозможные варианты изображения плоских фигур на плоскости с использованием метода параллельного проектирования.
В следующей статье мы рассмотрим изображение пространственных фигур на плоскости.
Об авторе
Мое педагогическое кредо: "Чтобы быть хорошим преподавателем, нужно любить то, что преподаешь, и любить тех, кому преподаешь."
Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .
ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Изображение пирамиды, призмы, цилиндра или конуса обычно начинается с изображения их оснований – многоугольника или круга. Именно на этом этапе чаще всего учащимися допускаются ошибки, поэтому необходимо особое внимание уделить построению изображений многоугольников и круга в параллельной проекции. После этого достроить изображение тела обычно не составляет особого труда.
Рассмотрим ряд задач, которые могут быть использованы учителем, как для совместного решения с учащимися, так и для самостоятельного решения учащимися, например, в виде практической работы.
Задание: построить изображение треугольника АВС (включая прямоугольный, равнобедренный и равносторонний треугольники) в параллельной проекции .
Любой произвольный треугольник А′В′С′ будет являться искомым изображением треугольника АВС.
Задание: построить параллелограмм ABCD (включая прямоугольник, квадрат, ромб) в параллельной проекции.
Любой параллелограмм А′В′С′ D ′ будет являться искомым изображением параллелограмма АВС D .
Задание: построить трапецию ABCD (включая равнобокую и прямоугольную трапеции) в параллельной проекции.
Любая трапеция А′В′С′ D ′ будет являться искомым изображением трапеции АВС D .
Правильный пятиугольник 
Задание: построить сторону правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки (рис. 1).
Задание: построить изображение правильного пятиугольника в параллельной проекции (рис. 2). 
Пусть две прямые пересекаются в точке N ′ 1 .
Задание: построить правильный шестиугольник (рис. 3).
2. ω 1 (А 1 ; ОА 1 ), засекаем А 2 : А 1 О = А 1 А 2 : А 2 ω . 
Задание: построить изображение правильного шестиугольника в параллельной проекции (рис. 4). 
Задание: построить правильный восьмиугольник (рис. 5).
Поворачиваем квадрат А 1 А 3 А 5 А 7 относительно центра О на угол 45 о , получаем квадрат А 2 А 4 А 6 А 8 . 
Задание: построить изображение правильного восьмиугольника в параллельной проекции (рис. 6).
Находим О′ — центр этого параллелограмма.
