Представить вектор в виде линейной комбинации векторов

Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Определение линейной независимости векторов

Система векторов А₁,А₂,…А_n называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов λ1*A1+λ2*A2+. +λn*An равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ1, λ2. λn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+. +Anxn =Θ имеет единственное нулевое решение.

Определение линейной зависимости векторов

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

Теорема о линейной зависимости векторов

Теорема о представлении строки в виде линейной комбинации независимых строк

Каждая строка матрицы А может быть представлена в виде линейной комбинации независимых строк матрицы А.

Пусть матрица А имеет ранг r ,тогда существует минор порядка r отличный от 0,добавим к этому минору i-ую строку и j-ый столбец

М_r=
M_r+1=0; т.к. ранг A=r (как минор более высоеого порядка ,чем r).Этот минор можно разложить по последнему столбцу.

Разделим все на M_r и введем A_ij /( (-1) i+j M_r)=λ_i

81. Теорема о представлении cтолбца в виде линейной комбинации независимыхcтолбцов

Теорема о связи ранга матрицы с числом независимых строк/cтолбцов

Ранг матрицы А равен числу её независимых строк/столбцов.Пусть матрица А_(m*n) имеет ранг r

Существует минор порядка r = 0; _1…..е_r> –линейно-независимы

Проведем эле-ые преобр. не изменяющие определитель этого минора ( M_r )

Итак,мы получим последнюю строку состоящую из 0,но тогда M_r = 0,наше предположение неверно!

Определители

Свойства определителей. № 01.(Транспонирование)

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: .

Доказательство. Согласно определению,

При транспонировании матрицы A происходит лишь перегруппировка слагаемых в этой сумме.

Свойства определителей. № 02. (Перестановка строк или столбцов).

Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.

Доказательство. По Теореме 1, любая транспозиция изменяет четность перестановки. Следовательно, при перестановке двух строк (столбцов) каждое слагаемое суммы изменяет свой знак на противоположный.

Дата добавления: 2018-08-06 ; просмотров: 669 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Нужно найти такие , которые будут удовлетворять следующему соотношению:

Составляем систему уравнений по каждой из трех координат наших векторов (советую внимательно посмотреть на систему и понять, что к чему относится)

Решив ее любым методом, получим такой ответ:

Итак, получив этот результат, мы разложили наш вектор по трем базисным векторам.

ВЕКТОРЫ

Векторами называются математические объекты (a, b, c, …), для которых определено выполнение двух алгебраических операций:

· сложение двух векторов a + b = c

· умножение вектора на число a • а = b .

Наиболее существенной особенностью этих операций является то, что в результате их выполнения всегда получается вектор того же типа, что и исходные векторы. Поэтому, имея некоторый исходный набор векторов, мы можем постепенно расширять его, т.е. получать все новые и новые векторы, применяя к уже имеющимся векторам операции сложения и умножения на число. В конце концов мы придем к такому множеству векторов, которое уже больше не будет расширяться, т.е. окажется замкнутым относительно указанных операций. Такое множество векторов называется векторным пространством.

Если при выполнении указанных операций выполняются дополнительные условия линейности:

a(a + b)=aa +ab

(a + b)a = aa +bb

то получающееся пространство называется линейным пространством (ЛП) или линейным векторным пространством (ЛВП). ЛВП может, наряду с группами симметрии, служить еще одним примером математических структур, представляющих собой замкнутые множества однотипных и упорядоченных определенным образом (с помощью алгебраических операций) объектов.

Линейные комбинации

Располагая операциями сложения векторов и умножения их на числа, можно построить и более сложную конструкцию типа:

aa +bb +gc + . = x

которая называется линейной комбинацией (ЛК) векторов a, b, c, . . .c коэффициентами a, b, g,. . . , соответственно.

Понятие ЛК позволяет сформулировать несколько общих правил:

· всякая ЛК любых векторов некоторого ЛП также является вектором того же самого ЛП;

· любой вектор некоторого ЛП может быть представлен в виде ЛК нескольких векторов того же самого ЛП;

· в любом ЛП существует такой выделенный набор векторов, называемый базисным набором (или просто базисом), что все, без исключения, векторы этого ЛП могут быть представлены как линейные комбинации этих выделенных базисных векторов. На векторы, выбираемые в качестве базисных, накладывается одно важное условие: они должны быть линейно независимы между собой (не должны выражаться друг через друга, т.е.: x ≠ a × y).

Эти правила дают возможность ввести специальный способ описания любого ЛП. Выберем базисный набор и разложим все интересующие нас векторы по этому базису (т.е. представим их в виде ЛК базисных векторов); тогда каждый вектор можно однозначно задать посредством набора коэффициентов ЛК, соответствующей данному вектору. Такие коэффициенты называются координатами вектора (по отношению к заданному базису). Подчеркнем, что координаты вектора — это обыкновенные числа, и координатное представление вектора позволяет описать его посредством только совокупности чисел, независимо от конкретного физического смысла, вкладываемого нами в понятие вектора.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть у нас имеется набор различных смесей двух чистых химических веществ: воды и спирта. Среди всех возможных смесей выделим две особых:

1) смесь S₁, содержащая 100 % воды и 0 % спирта;

2) смесь S₂, содержащая 0 % воды и 100 % спирта.

Ясно, что произвольную смесь можно представить в виде ЛК этих двух базисных смесей:

и полностью охарактеризовать ее всего двумя числами-координатами: n₁ и n₂. Другими словами, при заданном базисном наборе, мы можем установить эквивалентность произвольной химической смеси и набора чисел:

S

Теперь достаточно заменить конкретное химическое слово "смесь" на абстрактный математический термин "вектор", чтобы получить модель ЛВП, описывающую множество смесей двух веществ.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8545 — | 7400 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно