Приведение квадратичной формы к главным осям

Приведение квадратичной формы к главным осям

Теорема. (о приведении квадратичной формы к главным осям). Любую квадратичную форму с помощью ортогонального преобразования переменных можно привести к каноническому виду.

Доказательство.Матрица А квадратичной формы симметрична, а для симметричной матрицы найдется ортогональная матрица Q такая, что матрица Q — 1 AQ диагональна. Подвергнув квадратичную форму ортогональному преобразованию с матрицей Q, мы приведем ее к каноническому виду. ■

Теорема.Квадратичная форма с помощью ортогонального преобразования переменных приводится к каноническому виду, коэффициентами которого являются корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы, взятые с их кратностями.

Доказательство.Пусть квадратичная форма f некоторым ортогональным преобразованием переменных приведена к каноническому виду

Легко видеть, что ортогональное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов переменных, поэтому

Квадрат определителя ортогональной матрицы равен 1. А определитель матрицы преобразованной квадратичной формы отличается от определителя матрицы исходной квадратичной формы на квадрат определителя матрицы линейного преобразования. Отсюда,

. ■

Следствие. Для любой ортогональной матрицы, приводящей к диагональному виду симметрическую матрицу, на главной диагонали полученной диагональной матрицы располагаются характеристические корни симметрической матрицы, взятые с их кратностями.

Пример. Приведите к главным осям квадратичную форму

Матрица квадратичной формы имеет вид

А = .

Найдем ее характеристический многочлен

Матрица А имеет трехкратный характеристический корень 1 и простой характеристический корень – 3. Таким образом,

канонический вид, к которому квадратичная форма приводится ортогональным преобразованием.

Для нахождения ортогонального преобразования, осуществляющего это приведение, необходимо найти собственные векторы линейного оператора, матрицей которого в некотором ортонормированном базисе является матрица А. При для этого надо решить однородную систему линейных уравнений

Ранг системы равен 1 и поэтому фундаментальная система решений состоит из трех решений. Например,

Ортогонализируя эту систему, получим

с2 = с1 + b2 = ( , , 1, 0),

с3 = с1 + с3 + b3 = ( , , , 1).

При надо решить однородную систему линейных уравнений

Ранг системы равен 3 и поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Например, с4 = (1, -1, -1, 1).

Нормируя ортогональную систему векторов с1, с2, с3, с4, получим ортонормированную систему векторов

Таким образом, форма приводится к главным осям ортогональным преобразованием:

7.6. Приведение квадратичной формы к главным осям

Перейдём от линейных преобразований сначала к матрицам, а затем к квадратичным формам.

Теорема 14. Для любой симметрической матрицы A существует ортогональная матрица Q такая, что QAQ T — диагональная.

Доказательство (для матриц 3-го порядка). Рассмотрим i, j, k — ортонормированный базис в пространстве R 3 . Матрица A задаёт в этом базисе симметрическое преобразование A. Пусть z1,Z2,Z3 — ортонормированный базис в R 3 , состоящий из собственных векторов A (такой существует по теореме 13). Матрица A в новом базисе имеет вид QAQ -1 , где Q — матрица перехода от одного базиса к другому (теорема 11 из 3.5.4). Так как базис состоит из собственных векторов, то матрица QAQ -1 — диагональная.
По теореме 9 (см. 7.5.2), матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Поэтому Q — ортогональная матрица, т. е. Q -1 = Q T и матрица QAQ T — диагональная. Теорема доказана.

Читайте также:  The secure boot key database is empty

Теорема 15 (о приведении квадратичной формы к главным осям). Любую квадратичную форму с действительными коэффициентами можно привести к каноническому виду с помощью линейной замены переменных с ортогональной матрицей.

Доказательство. Пусть f(x1. ,xn) — квадратичная форма с матрицей A. Так как A — симметрическая, то, по теореме 14, существует ортогональная матрица Q такая, что QAQ T — диагональная. Рассмотрим линейную замену переменных с матрицей Q : X = YQ. После преобразований форма будет иметь матрицу QAQ T , т. е. диагональную матрицу, что и требовалось.

Теорема 16. Если квадратичная форма f(x1. xn) с матрицей A приведена к каноническому виду с помощью линейной замены переменных с ортогональной матрицей, то числа bi — характеристические корни матрицы A.

Доказательство. Пусть X = YQ — необходимая замена переменных, Q — ортогональная матрица,

Так как . то . — матрица, подобная матрице A. Было доказано (теорема 12 из раздела 3.6), что характеристические корни

Ранее была рассмотрена задача приведения вещественной квадратичной формы

[math]n[/math] переменных [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] к каноническому виду (6.18)

при помощи невырожденной линейной замены переменных [math]x=Sy[/math] . Для решения этой задачи использовался метод Лагранжа.

Рассмотрим другой подход к решению. Линейную невырожденную замену переменных [math]x=Sy[/math] с ортогональной матрицей [math]S

(S^<-1>=S^T)[/math] будем называть ортогональной заменой переменных (или ортогональным преобразованием переменных).

Сформулируем задачу приведения квадратичной формы к главным осям : требуется найти ортогональную замену переменных [math]x=Sy[/math] [math](S^<-1>=S^T)[/math] , приводящую квадратичную форму (9.23) к каноническому виду (9.24).

Для решения используем следующий геометрический смысл задачи. Будем считать переменные [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] координатами вектора [math]oldsymbol[/math] n-мерного евклидова пространства [math]mathbb[/math] в ортонормированном базисе [math](oldsymbol)= (oldsymbol_1,ldots,oldsymbol_n)[/math] , а матрицу [math]A[/math] квадратичной формы (9.23) — матрицей некоторого линейного преобразования [math]mathcalcolon mathbb o mathbb[/math] в том же базисе. Причем это преобразование самосопряженное, так как его матрица симметрическая: [math]A^T=A[/math] . Квадратичную форму (9.23) можно представить в виде скалярного произведения

Читайте также:  Mysql свойства первичного ключа

Ортогональной замене переменных [math]x=Sy[/math] соответствует переход от одного ортонормированного базиса к другому. Действительно, пусть [math]S[/math] — матрица перехода от ортонормированного базиса [math](oldsymbol)[/math] к ортонормированному базису [math](oldsymbol)= (oldsymbol_1,ldots,oldsymbol_n)[/math] , т.е. [math](oldsymbol)= (oldsymbol)S[/math] и [math]S^<-1>=S^T[/math] . Тогда координаты [math]x[/math] вектора [math]oldsymbol[/math] в базисе [math](oldsymbol)[/math] и координаты [math]y[/math] того же вектора в базисе [math](oldsymbol)[/math] связаны формулой (8.11): [math]x=Sy[/math] .

Сформулируем этот результат для квадратичной формы.

Теорема (9.12) о приведении квадратичной формы к главным осям

Вещественная квадратичная форма (9.23) при помощи ортогонального преобразования переменных [math]x=Sy[/math] может быть приведена к каноническому виду (9.24), где [math]lambda_1, lambda_2,ldots,lambda_m[/math] — собственные значения матрицы [math]A[/math] .

Следствие. Квадратичная форма (9.23) является положительно определенной (неотрицательно определенной) тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (неотрицательны).

1. При линейной невырожденной замене переменных матрица квадратичной формы изменяется по формуле (6.10): [math]A’=S^TAS[/math] . Для ортогональной матрицы [math]S[/math] эта формула принимает вид [math]A’=S^<-1>AS[/math] , который совпадает с формулой (9.4) изменения матрицы линейного преобразования при замене базиса.

2. Для нахождения канонического вида (9.24) достаточно определить все корни [math]lambda_1, lambda_2,ldots,lambda_m[/math] (среди которых могут быть равные) характеристического многочлена (уравнения) [math]det(A-lambda E)=0[/math] , где [math]E[/math] — единичная матрица.

3. Следствие теоремы 9.12 можно использовать для анализа знакоопределенности квадратичной формы:

– если все собственные значения положительные (отрицательные), то квадратичная форма положительно (отрицательно) определенная;

– если все собственные значения неотрицательные (неположительные), то квадратичная форма неотрицательно (неположительно) определенная;

– если имеются собственные значения разных знаков, то квадратичная форма неопределенная (знакопеременная).

4. Результаты, сформулированные в пункте 3 замечаний, могут быть использованы для проверки достаточных и необходимых условий второго порядка в задаче поиска безусловного экстремума функций. Для этого следует найти собственные значения [math]lambda_1, lambda_2,ldots,lambda_m[/math] матрицы Гессе [math]dfrac[/math] в каждой из стационарных точек [math]x^<ast>[/math] функции [math]f(x)=f(x_1,ldots,x_n)[/math] .

Если все собственные значения положительные: 0,

i=1,ldots,n[/math] , то в точке [math]x^<ast>[/math] локальный минимум;

– если все собственные значения отрицательные: [math]lambda_i , то в точке [math]x^<ast>[/math] локальный максимум;

– если все собственные значения неотрицательные: [math]lambda_igeqslant0,

i=1,ldots,n[/math] , то в точке [math]x^<ast>[/math] может быть локальный минимум;

Читайте также:  Программа для взлома почтового ящика

– если все собственные значения неположительные: [math]lambda_ileqslant0,

i=1,ldots,n[/math] , то в точке [math]x^<ast>[/math] может быть локальный максимум;

– если собственные значения [math]lambda_i,

i=1,ldots,n[/math] , разных знаков, то в точке [math]x^<ast>[/math] нет экстремума;

– если все собственные значения нулевые: [math]lambda_i=0,

i=1,ldots,n[/math] , то требуется дополнительное исследование.

5. Задача приведения квадратичной формы к главным осям решается при помощи алгоритма приведения самосопряженного преобразования к диагональному виду. При этом находится диагональный вид матрицы квадратичной формы и ортогональная матрица [math]S[/math] замены переменных [math]x=Sy[/math] , приводящей квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).

Пример 9.7. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы трёх переменных

и найти ортогональную замену переменных [math]x=Sy[/math] , приводящую квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).

Решение. Составляем матрицу квадратичной формы: [math]A=egin 1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1 end[/math] . В примере 9.6 были найдены собственные значения этой матрицы: [math]lambda_<1,2>=0,[/math] [math]lambda_3=3[/math] . Все собственные значения неотрицательные, поэтому квадратичная форма является неотрицательно определенной (см. пункт 4 замечаний 9.10).

В примере 9.6 была найдена ортогональная матрица

приводящая матрицу [math]A[/math] к диагональному виду [math]Lambda= operatorname (0,0,3)[/math] . Записываем искомую ортогональную замену переменных [math]x=Sy:[/math]

и квадратичную форму в каноническом виде: [math]w >.

Пример 9.8. Найти точки локального экстремума функции двух переменных с помощью матриц

Решение. В пункте 1 примера 6.13 найден градиент функции, а из необходимого условия экстремума первого порядка три стационарные точки:

Найдем собственные значения матрицы Гессе в каждой стационарной точке:

и воспользуемся пунктом 4 замечаний 9.10.

В точке [math]x^0=egin0\0 end[/math] матрица Гессе имеет вид [math]egin 0&0\ 0&2end[/math] . Из уравнения [math]egin -lambda&0\ 0&2-lambdaend=0[/math] находим [math]lambda_1=0,[/math] [math]lambda_2=2[/math] . Так как все собственные значения неотрицательные, то в точке [math]x^0[/math] может быть локальный минимум и для окончательного вывода требуется дополнительное исследование (см. пример 6.13).

В точке [math]x^1=egin1\1 end[/math] матрица Гессе имеет вид [math]egin 38&-4\ -4&2 end[/math] . Из уравнения [math]egin 38-lambda&-4\ -4&2-lambdaend=0[/math] , или [math]lambda^2-40 lambda+60=0[/math] получаем [math]lambda_<1,2>= 20pm2sqrt<85>[/math] . Поскольку все собственные значения положительные, то в точке [math]x^1[/math] локальный минимум функции.

В точке [math]x^2=egin-1\1 end[/math] матрица Гессе имеет вид [math]egin -22&4\ 4&2 end[/math] . Из уравнения [math]egin -22-lambda&4\ 4&2-lambdaend=0[/math] , или [math]lambda^2+40 lambda-60=0[/math] получаем [math]lambda_<1,2>=-10pm4sqrt<10>[/math] . Поскольку собственные значения имеют разные знаки, то в точке [math]x^2[/math] нет экстремума.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector