Теорема. (о приведении квадратичной формы к главным осям). Любую квадратичную форму с помощью ортогонального преобразования переменных можно привести к каноническому виду.
Доказательство.Матрица А квадратичной формы симметрична, а для симметричной матрицы найдется ортогональная матрица Q такая, что матрица Q — 1 AQ диагональна. Подвергнув квадратичную форму ортогональному преобразованию с матрицей Q, мы приведем ее к каноническому виду. ■
Теорема.Квадратичная форма с помощью ортогонального преобразования переменных приводится к каноническому виду, коэффициентами которого являются корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы, взятые с их кратностями.
Доказательство.Пусть квадратичная форма f некоторым ортогональным преобразованием переменных приведена к каноническому виду
Легко видеть, что ортогональное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов переменных, поэтому
Квадрат определителя ортогональной матрицы равен 1. А определитель матрицы преобразованной квадратичной формы отличается от определителя матрицы исходной квадратичной формы на квадрат определителя матрицы линейного преобразования. Отсюда,
. ■
Следствие. Для любой ортогональной матрицы, приводящей к диагональному виду симметрическую матрицу, на главной диагонали полученной диагональной матрицы располагаются характеристические корни симметрической матрицы, взятые с их кратностями.
Пример. Приведите к главным осям квадратичную форму
Матрица квадратичной формы имеет вид
А = 
.
Найдем ее характеристический многочлен
Матрица А имеет трехкратный характеристический корень 1 и простой характеристический корень – 3. Таким образом,
–
канонический вид, к которому квадратичная форма приводится ортогональным преобразованием.
Для нахождения ортогонального преобразования, осуществляющего это приведение, необходимо найти собственные векторы линейного оператора, матрицей которого в некотором ортонормированном базисе является матрица А. При 
для этого надо решить однородную систему линейных уравнений
Ранг системы равен 1 и поэтому фундаментальная система решений состоит из трех решений. Например,
Ортогонализируя эту систему, получим
с2 = 
с1 + b2 = ( 
, , 1, 0),
с3 = с1 + 
с3 + b3 = ( 
, , , 1).
При 
надо решить однородную систему линейных уравнений
Ранг системы равен 3 и поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Например, с4 = (1, -1, -1, 1).
Нормируя ортогональную систему векторов с1, с2, с3, с4, получим ортонормированную систему векторов
Таким образом, форма приводится к главным осям ортогональным преобразованием:
7.6. Приведение квадратичной формы к главным осям
Перейдём от линейных преобразований сначала к матрицам, а затем к квадратичным формам.
Теорема 14. Для любой симметрической матрицы A существует ортогональная матрица Q такая, что QAQ T — диагональная.
Доказательство (для матриц 3-го порядка). Рассмотрим i, j, k — ортонормированный базис в пространстве R 3 . Матрица A задаёт в этом базисе симметрическое преобразование A. Пусть z1,Z2,Z3 — ортонормированный базис в R 3 , состоящий из собственных векторов A (такой существует по теореме 13). Матрица A в новом базисе имеет вид QAQ -1 , где Q — матрица перехода от одного базиса к другому (теорема 11 из 3.5.4). Так как базис состоит из собственных векторов, то матрица QAQ -1 — диагональная.
По теореме 9 (см. 7.5.2), матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Поэтому Q — ортогональная матрица, т. е. Q -1 = Q T и матрица QAQ T — диагональная. Теорема доказана.
Теорема 15 (о приведении квадратичной формы к главным осям). Любую квадратичную форму с действительными коэффициентами можно привести к каноническому виду с помощью линейной замены переменных с ортогональной матрицей.
Доказательство. Пусть f(x1. ,xn) — квадратичная форма с матрицей A. Так как A — симметрическая, то, по теореме 14, существует ортогональная матрица Q такая, что QAQ T — диагональная. Рассмотрим линейную замену переменных с матрицей Q : X = YQ. После преобразований форма будет иметь матрицу QAQ T , т. е. диагональную матрицу, что и требовалось.
Теорема 16. Если квадратичная форма f(x1. xn) с матрицей A приведена к каноническому виду с помощью линейной замены переменных с ортогональной матрицей, то числа bi — характеристические корни матрицы A.
Доказательство. Пусть X = YQ — необходимая замена переменных, Q — ортогональная матрица,
Так как . то . — матрица, подобная матрице A. Было доказано (теорема 12 из раздела 3.6), что характеристические корни
Ранее была рассмотрена задача приведения вещественной квадратичной формы
[math]n[/math] переменных [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] к каноническому виду (6.18)
при помощи невырожденной линейной замены переменных [math]x=Sy[/math] . Для решения этой задачи использовался метод Лагранжа.
Рассмотрим другой подход к решению. Линейную невырожденную замену переменных [math]x=Sy[/math] с ортогональной матрицей [math]S
(S^<-1>=S^T)[/math] будем называть ортогональной заменой переменных (или ортогональным преобразованием переменных).
Сформулируем задачу приведения квадратичной формы к главным осям : требуется найти ортогональную замену переменных [math]x=Sy[/math] [math](S^<-1>=S^T)[/math] , приводящую квадратичную форму (9.23) к каноническому виду (9.24).
Для решения используем следующий геометрический смысл задачи. Будем считать переменные [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] координатами вектора [math]oldsymbol
Ортогональной замене переменных [math]x=Sy[/math] соответствует переход от одного ортонормированного базиса к другому. Действительно, пусть [math]S[/math] — матрица перехода от ортонормированного базиса [math](oldsymbol)= (oldsymbol_1,ldots,oldsymbol_n)[/math] , т.е. [math](oldsymbol)= (oldsymbol)[/math] связаны формулой (8.11): [math]x=Sy[/math] .
Сформулируем этот результат для квадратичной формы.
Теорема (9.12) о приведении квадратичной формы к главным осям
Вещественная квадратичная форма (9.23) при помощи ортогонального преобразования переменных [math]x=Sy[/math] может быть приведена к каноническому виду (9.24), где [math]lambda_1, lambda_2,ldots,lambda_m[/math] — собственные значения матрицы [math]A[/math] .
Следствие. Квадратичная форма (9.23) является положительно определенной (неотрицательно определенной) тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (неотрицательны).
1. При линейной невырожденной замене переменных матрица квадратичной формы изменяется по формуле (6.10): [math]A’=S^TAS[/math] . Для ортогональной матрицы [math]S[/math] эта формула принимает вид [math]A’=S^<-1>AS[/math] , который совпадает с формулой (9.4) изменения матрицы линейного преобразования при замене базиса.
2. Для нахождения канонического вида (9.24) достаточно определить все корни [math]lambda_1, lambda_2,ldots,lambda_m[/math] (среди которых могут быть равные) характеристического многочлена (уравнения) [math]det(A-lambda E)=0[/math] , где [math]E[/math] — единичная матрица.
3. Следствие теоремы 9.12 можно использовать для анализа знакоопределенности квадратичной формы:
– если все собственные значения положительные (отрицательные), то квадратичная форма положительно (отрицательно) определенная;
– если все собственные значения неотрицательные (неположительные), то квадратичная форма неотрицательно (неположительно) определенная;
– если имеются собственные значения разных знаков, то квадратичная форма неопределенная (знакопеременная).
4. Результаты, сформулированные в пункте 3 замечаний, могут быть использованы для проверки достаточных и необходимых условий второго порядка в задаче поиска безусловного экстремума функций. Для этого следует найти собственные значения [math]lambda_1, lambda_2,ldots,lambda_m[/math] матрицы Гессе [math]dfrac[/math] в каждой из стационарных точек [math]x^<ast>[/math] функции [math]f(x)=f(x_1,ldots,x_n)[/math] .
Если все собственные значения положительные: 0,
i=1,ldots,n[/math] , то в точке [math]x^<ast>[/math] локальный минимум;
– если все собственные значения отрицательные: [math]lambda_i , то в точке [math]x^<ast>[/math] локальный максимум;
– если все собственные значения неотрицательные: [math]lambda_igeqslant0,
i=1,ldots,n[/math] , то в точке [math]x^<ast>[/math] может быть локальный минимум;
– если все собственные значения неположительные: [math]lambda_ileqslant0,
i=1,ldots,n[/math] , то в точке [math]x^<ast>[/math] может быть локальный максимум;
– если собственные значения [math]lambda_i,
i=1,ldots,n[/math] , разных знаков, то в точке [math]x^<ast>[/math] нет экстремума;
– если все собственные значения нулевые: [math]lambda_i=0,
i=1,ldots,n[/math] , то требуется дополнительное исследование.
5. Задача приведения квадратичной формы к главным осям решается при помощи алгоритма приведения самосопряженного преобразования к диагональному виду. При этом находится диагональный вид матрицы квадратичной формы и ортогональная матрица [math]S[/math] замены переменных [math]x=Sy[/math] , приводящей квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).
Пример 9.7. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы трёх переменных
и найти ортогональную замену переменных [math]x=Sy[/math] , приводящую квадратичную форму к каноническому виду (к главным осям).
Решение. Составляем матрицу квадратичной формы: [math]A=egin
В примере 9.6 была найдена ортогональная матрица
приводящая матрицу [math]A[/math] к диагональному виду [math]Lambda= operatorname
и квадратичную форму в каноническом виде: [math]w >.
Пример 9.8. Найти точки локального экстремума функции двух переменных с помощью матриц
Решение. В пункте 1 примера 6.13 найден градиент функции, а из необходимого условия экстремума первого порядка три стационарные точки:
Найдем собственные значения матрицы Гессе в каждой стационарной точке:
и воспользуемся пунктом 4 замечаний 9.10.
В точке [math]x^0=egin
В точке [math]x^1=egin
В точке [math]x^2=egin
