Признак делимости чисел паскаля

Определение 1. Пусть число a 1 ) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b.

1 ) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a, или b делит a, или b входит множителем в a.

Из определения 1 вытекают следующие утверждения:

Утверждение 1. Если a -кратное b, b-кратное c, то a кратное c.

Действительно. Так как

где m и n какие то числа, то

Следовательно a делится на c.

Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.

Утверждение 2. Если числа a и b — кратные числа c, то их сумма и разность также кратные числа c.

Действительно. Так как

Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .

Признаки делимости

Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m, которое называется признаком делимости Паскаля.

Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r₁, 10&middotr₁ на m будет r₂, и т.д. Тогда можно записать:

(1)

Так как при делении любого числа на m остатки могут быть 0,1. m-1, то через m шагов остатки от деления на m будут повторяться (следовательно пересчитать их не нужно).

Любое натуральное число A в десятичной системе счисления можно представить в виде

(2)

Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа

(3)

Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.

Рассмотрим разность A−A’

(4)

Покажем, что 10 i −r_i делиться на m при всех i=1,2. m−1.

10−r_i=mk₁ делится на m (т.к. mk₁ кратно m),

(5)

(6)

(7)

Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m. Рассуждая аналогично, получим — правая часть (6) делится на m, следовательно левая часть (6) также делится на m, правая часть (7) делится на m, следовательно левая часть (7) также делится на m. Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m. Следовательно A и A’ имеют одинаковый остаток при делении на m. В этом случае говорят, что A и A’ равноостаточные или сравнимыми по модулю m.

Таким образом, если A’ делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A’.

Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.

Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Признак делимости на 2.

Следуя процедуре (1) для m=2, получим:

10=2·5+0, 10·0=2&middot5+0, и т.д.

Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делиться на 2 (т.е. когда число является четным).

Признак делимости на 3.

Следуя процедуре (1) для m=3, получим:

Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4.

Следуя процедуре (1) для m=4, получим:

Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков сложенное с числом единиц делится на 4. Число делится на 4, если последние две цифры составляют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 5.

Следуя процедуре (1) для m=5, получим:

Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 5, т.е. число оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6.

Следуя процедуре (1) для m=6, получим:

Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.

Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.

Признак делимости на 7.

Следуя процедуре (1) для m=7, получим:

Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем

(8)

Следовательно число делится на 7 тогда и только тогда, когда (8) делится на 7.

Пример. 3801 делится на 7, т.к. 1+0*3+8*2+3*6=1+16+18=35 делится на 7.

Другой признак делимости. Для определения, делится ли число на 7, из числа отбрасываем последнюю с права цифру, далее умножаем полученное число на 3 и добавляем и добавляет отброшенное число. Если данное число делится на 7, то исходное число делится на 6. 380*3+1=1141, 114*3+1=343, 34*3+3=105, 10*3+5=35 делится на 7, следовательно 3801 делится на 7.

Признак делимости на 8.

Следуя процедуре (1) для m=8, получим:

Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем

(9)

Следовательно число делится на 8 тогда и только тогда, когда (9) делится на 8.

Пример. 4328 делится на 8, т.к. 8+2*2+4*3=24 делится на 8.

Признак делимости на 9.

Следуя процедуре (1) для m=9, получим:

Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10.

Следуя процедуре (1) для m=10, получим:

Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).

V Рождественские чтения

Универсальный признак делимости

6в класс, средняя школа № 000 с углубленным изучением отдельных предметов

учитель математики 1 кв. категории

Глава 1. Историческая справка. 5

Глава 2. Признак Паскаля.

1.1.Свойство остатков при делении чисел. 7

1.2. Признак делимости. 7

1.3. Признак Паскаля. 8

1.4. Применение Признака Паскаля. 9

Список используемой литературы. 11

Изучая на уроках математики тему «Делимость чисел» мы познакомились с признаками делимости на 2, 3, 5, 9 и 10, узнали, какие числа являются простыми и составными. У нас возникли вопросы: «А существуют ли признаки делимости на другие числа?», «Какие числа называются дружественными, компанейскими и совершенными?», «Можно ли найти самое большое простое число?», «Какие числовые диковинки, обладающие интересными свойствами делимости, существуют?» и другие. Так появилась идея начать работу над учебным проектом «Дело о делимости», в создании которого приняли участия увлеченные математикой ребята шестых классов, которые назвались «Совет Умников». У каждого в разработке была своя проблема-тема. Что-то у нас уже получилось. 10 декабря 2009 года состоялась презентация нашего проекта, у которого даже есть своя страничка в интернете на сайте wiki. iteach, где опубликованы результаты наших работ. (Приложение 1) Так одна из моих одноклассниц задалась целью выявить признаки делимости на все натуральные числа от 2 до 20. Итогом ее работы стал буклет «Признаки делимости натуральных чисел». (Приложение 2) Изучив самостоятельно другие признаки, я предположила существование универсального признака делимости, который подходит для любых чисел.

Цель моей исследовательской работы: выявить и изучить универсальный признак делимости.

1. Найти и познакомиться с различными источниками информации по данной теме.

2. Систематизировать полученную информацию.

3. Научиться с помощью универсального признака определять делимость чисел и формулировать признаки делимости на любое число.

Гипотеза: Я предполагаю, что существует универсальный признак делимости.

В результате изучения различной литературы, моя гипотеза была подтверждена. Вывел общий признак делимости великий французский ученый Блез Паскаль.

Предмет исследования: Признак Паскаля.

1. Изучение литературы и электронных источников.

2. Систематизация и обобщение полученной информации.

3. Применение изученной теории при решении проблемных задач.

Глава 1. Историческая справка

Блез Паскаль – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Паскаль родился 19 июня 1623 в Клермон-Ферран, в семье высокообразованного юриста. Отец Паскаля имел хорошее образование и решил самостоятельно заниматься образованием мальчика. Блез рос одарённым ребёнком и рано проявил выдающиеся математические способности. Его отец старался обучить мальчика древним языкам, настаивая, чтобы тот не отвлекался на разного рода пустяки. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, отец кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции. Однако тут же запретил ему всякие исследования в этой области. Но запретный плод сладок, и Блез, закрывшись в своей спальне, принялся углем выводить на полу различные фигуры и изучать их. Когда отец случайно застал его за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясен: не знавший даже названий фигур, мальчик доказывал их свойства. Так постепенно раскрывался гений Блеза Паскаля.

Отец Блеза был сборщиком налогов, и, наблюдая за его бесконечными утомительными расчетами, Паскаль, в возрасте 19 лет, задумал создать вычислительное устройство, которое могло бы помочь этой работе. Он работал над этим устройством в течение трех лет. Устройство, называющееся "Паскалиной", выглядело как ящик, наполненный многочисленными связанными друг с другом шестерёнками. Складываемые числа вводились соответствующим поворотом колес. За несколько лет Паскаль построил около 50 вариантов своей машины. Паскаль получил лично от короля Патент на изобретение с сохранением авторских прав на ее изготовление и продажу. Несмотря на вызываемый «Паскалиной» всеобщий восторг, машина не принесла богатства своему создателю. Однако изобретённый Паскалем принцип связанных колёс почти на три столетия стал основой создания большинства вычислительных устройств. Во Франции она оставалась в употреблении до 1799г., а в Англии даже до 1971 года.

Но это было далеко не все, на что оказался способен одаренный юноша. В честь Паскаля называется единица измерения давления, кроме того, его имя носит один из языков программирования Pascal. К 30-ти годам закончил ряд работ по арифметике, алгебре, теории вероятностей и теории чисел. Паскаль нашел общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел".

Глава 2. Признак Паскаля

1.1. Свойство остатков при делении чисел.

Если число x имеет остаток при делении на n равный k, а число y имеет остаток при делении на n равный r, то число х∙у имеет остаток при делении на n равный к∙r . Аналогично, число (х+у) имеет остаток при делении на n равный (к+r).

Найдём остатки при делении 10, 100, 1000, 10000 и т. д. на 7.

Остаток от деления 10 на 7 равен 3.

Остаток от деления 100 на 7 равен остатку от деления 3∙3, то есть равен 2.

Остаток от деления 1000 на 7 равен остатку от деления 3∙2, то есть равен 6.

Остаток от деления 10000 на 7 равен остатку от деления 3∙6, то есть равен 4…

1.2. Признак делимости.

Признак делимости – правило, позволяющее судить о делимости без остатка одних натуральных чисел на другие без необходимости выполнять фактическое деление, как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Общие признаки делимости напоминают алгоритмы, и притом алгоритмы довольно своеобразные: их итогами, результатами должны быть снова алгоритмы, именно: конкретные признаки делимости.

Указывая общий признак делимости, мы должны проверить выполнение следующих условий. Во-первых, по всякому числу m он должен действительно давать признак делимости на это число. Он должен, так сказать, «перерабатывать» каждое натуральное число m в соответствующий признак. Именно в этом состоит его результативность. Во-вторых, общий признак должен быть определенным, т. е., примененный к заданному числу m, он должен приводить вполне определенным способом к вполне определенному признаку делимости на это число. В-третьих, признак должен быть массовым, т. е., действительно общим, и давать признаки делимости на любое наперед заданное натуральное число.

1.3. Признак Паскаля

Пусть …abcd есть натуральное число записываемое в десятичной системе счисления, где d— единицы, c — десятки и т. д.

Пусть n — произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него.

Находим ряд остатков по следующей схеме:

k — остаток от деления 10 на n

r — остаток от деления 10∙k на n

s — остаток от деления 10∙r на n и так далее.

Так как остатков конечное число, то этот процесс зациклится (не позже, чем через n шагов) и дальше можно его не продолжать. Тогда заданное число имеет тот же остаток от деления на n , что и число d+k∙c+d∙r+a∙s+…

Делится ли число 849756 на 7?

Попробуем ответить на этот вопрос, применяя признак Паскаля и зная остатки при делении на 7 от 10, 100, 1000, 10000… Число 6+3∙5+2∙7+6∙9+4∙4+5∙8 имеет такой же остаток как и 6+1+0+5+2+5=19, то есть 5. Число 849756 не делится на 7.

1.4. Применение Признака Паскаля

Покажем теперь, как с помощью этого универсального признака делимости, можно сформулировать признак делимости на любое число, например на 41.

Найдём остатки при делении 10, 100, 1000, 10000 и т. д. на 41.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Управление образования и науки Кудымкарского муниципального района

МОУ «Кувинская средняя общеобразовательная школа»

Конкурс учебной – исследовательских работ учащихся

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ

ученица 8-ого класса

Признаки делимости чисел:

1. Признаки делимости на 2…………………………………..…………. 9

2. Признаки делимости на 3…………………………………………….…9

3. Признаки делимости на 4……………………………………………….9

4. Признаки делимости на 5……………………………………………….9

5. Признаки делимости на 6………………………………………. ….9-10

6. Признаки делимости на 7……………………………………………. 10

7. Признаки делимости на 8……………………………………………. 10

8. Признаки делимости на 9……………………………………………. 10

9. Признаки делимости на 10…………………………………………10-11

10. Признаки делимости на 11……………………………………………11

11. Признаки делимости на 12……………………………………………11

12. Признаки делимости на 13……………………………………. …….12

13. Признаки делимости на 14……………………………………………12

14. Признаки делимости на 15…………………………………………. 12

15. Признаки делимости на 19………………………………………. 12-13

16. Признаки делимости на 25………………………………………. ….13

17. Признаки делимости на 50…………………………………………….13

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

В арифметике много разделов и один из них — делимость чисел.

При изучении на уроках математики темы « Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9,10» возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа. Признак делимости — это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

— О, мудрец!- сказал старший брат. — Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

— Нет ничего проще, — ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:

— О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

— Это не лишний, — сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

Объект исследования – изучение всевозможных признаков делимости.

Предмет исследования – нахождение признаков делимости.

Цель исследования – найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким решениям и выводам.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1) Самостоятельно исследовать делимость чисел.

2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

3) Объединить и обобщить признаки из разных источников.

4) Сделать вывод.

Гипотеза: исследованные признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение.

Работа имеет практическое применение . Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Из истории математики о делимости чисел

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции. Вместе с Галилеем и Стевином Паскаль разработал основные положения классической гидростатики и установил ее основной закон – «Закон Паскаля». Умер Паскаль в Париже в 1662 году.

Признак делимости Паскаля.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.

Например: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Делители и кратные .

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Простые и составные числа.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Например, число 17 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.

Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются составными.

Например, число 121 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 11; 121. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Делимость чисел обладает свойствами :

1. Если а и р — натуральные числа, причем р -простое, то либо а делится на р, либо а и р взаимно просты.

2.Если М- общее кратное а и b , а т — их наименьшее общее кратное, то М делится на т .

Например, 3 и 5. Их кратное 90, наименьшее общее кратное 15, тогда 90 делится на 15.

Это свойство очевидно, как и то , что любое равенство можно читать как справа налево, так и слева направо

Разъясним транзитивность нам конкретном примере: 36:12, 12:4, тогда и 36:4Кроме того, нетрудно заметить, что делимость чисел практически никак не связана с их величиной: существуют маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. И число 43 имеет только два делителя: 1, 43.

Признаки делимости на 2

Необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была четной.

В числе 29654 последняя цифра 4 – она четная, значит, число делится на 2.

Признаки делимости на 3

Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы

сумма его цифр делилась на 3.

513 – 5+1+3=9, значит, число делится на 3.

Признаки делимости на 4

Чтобы число делилось на 4 надо

проверить делится ли на 4 число из двух последних цифр. Например:

1836 – 36:4, значит, 1836 делится на 4 без остатка.

Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями.

Признаки делимости на 5

Число делится на 5 в том, и только в том случае если оно оканчивается на

245 делится на пять.

Признаки делимости на 6

Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:

1) Число сотен умножить на 2,

2) Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.

Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Например:

138 – число сотен 1*2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.

Признаки делимости на 7

Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:

1. Число, стоящее до десятков умножить на два,

2. К результату прибавить оставшееся число.

3. Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. Например:

4690 — 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.

Признаки делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних цифр

6709112 – 112 делится на 8, значит, 6709112 кратно 8.

Признаки делимости на 9

Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно,

чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Признаки делимости на 10

Число делится на 10 в том, и только в том случае, если число оканчивается на 0.

3331289 – делится на 10.

Признаки делимости на 11

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.

Испытаем число 100397.

Нумерация идет слева направо.

10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.

Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Например, испытаем число 15235.

Разбиваем на группы

и складываем их:

88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.

Признаки делимости на 12

Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400 — делится на 3 и 4, а значит и на 12.

Признаки делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

858 делится на 13, так как делится на 13.

Признаки делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.

Признаки делимости на 15

Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

1146795 – 1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.

Признаки делимости на 19

Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.

Числа кратные 19 всегда делятся на 19.

19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..

Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.

Признаки делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.Пример:

Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.

Признаки делимости на 50

Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.

В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов. Учителям — с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».

В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел

Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:

· более глубокое изучение литературы по теме «признаки делимости чисел

· подбор задач, решаемых с помощью признаков делимости.

Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.

· И. Я. Депман «История арифметики» Москва 1965 Издательство «Просвещение»

· Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы» Москва 1982 «Просвещение»

· «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги»

· «Математика» Москва 1999 «Первое сентября»

· «Математика» Москва 2000 «Первое сентября»

· «Математика» Москва 2002 «Первое сентября»

· «Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс». – М.: Просвещение, 1979.

· «Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра»/ Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом – 5-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.

· «Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов»/ К. П. Сикорский – издание 2-е, исправленное и дополнительное – М.: «Просвещение», 1974.

· Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

· Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, — М.: Триада-Литера, 1994.-199с.

· Воробьев КН., Признаки делимости, издательство
«Наука», 1974.

· Кордемский Б. А., Математическая смекалка, Ленинград,
издательство технико-теоретической литературы, 1956.

· Перельман Я.И., Занимательная алгебра, Москва,
издательство «Наука», 1988.

· 1.И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин « За страницами учебника математики» М. Просвещение. 1989 г. стр.97.

· 2. М. Б. Гельфанд, В.С. Павлович «Внеклассная работа по математике в 8-летней школе» М. Просвещение. 1965 г. стр.37.

· Журнал «Математика в школе» №5 за 1999 г. стр.40.

· Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006 год. Пельман Я. И.

· Внеклассная работа по математике 5-11 классы М.: Айрис – пресс 2007 год Фарков А. В.

· Оригинальные головоломки с числами. М.: Эксмо, 2007. Кен Рассел, Филипп Картер.

· Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» — две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

А) число которое делиться на 10;

В) число, кратное 5;

Г) нечетное число.

Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.

Первый посещал его каждый вечер, второй — каждый второй вечер, третий — каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер? (Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7).

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.

Напишите наибольшее из таких чисел.

Напишите наименьшее из таких чисел.

(Нужно знать признак делимости на 11).

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527.

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Какой цифрой оканчивается десятичная запись числа 333³³³?

Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.

Ответ: опровергающий пример 9999999918.

Числа Р; Р² + 4; Р² + 6 простые. Найдите Р.

Название: Секция математика признаки делимости чисел Раздел: Остальные рефераты Тип: реферат Добавлен 05:05:14 29 августа 2011 Похожие работы Просмотров: 7359 Комментариев: 15 Оценило: 24 человек Средний балл: 4.2 Оценка: 4 Скачать