Произведение вы уже проходили в теме умножения натуральных чисел. Отличия произведения натуральных от целых чисел в том, что появляются целые отрицательные числа. Сейчас этой теме мы рассмотрим тему умножение целых чисел подробнее.
Основные понятия, обозначение и смысл произведения целых чисел.
Вспомним, что такое умножение или произведение.
Числа, которые мы умножаем называются множителями, а результат умножения называется произведением.
Обозначается умножение символом таким:
a∙b=c или a*b=c или a×b=c
Произведение в буквенном написании обозначается как a∙b или c.
Так же вспомним смысл произведения.
Произведение 2∙11=22 можно записать в виде суммы мы сложим 11 раз число 2, это будет выглядеть так:
Правило произведения целых чисел.
Определение:
Произведением двух целых чисел не равных нулю называют произведение их модулей и результат будет со знаком плюс, если эти числа одинаковых знаков, и со знаком минус, если они разных знаков.
Самое главное в произведении целых чисел это правильно посчитать знак ответа. Например, оба множителя могут быть положительными или оба отрицательными числами, или один множитель положительный, а другой отрицательный.
Плюс на плюс дает плюс.
“+ ∙ + = +”
Минус на минус дает плюс.
“– ∙ – =+”
Минус на плюс дает минус.
“– ∙ + = –”
Плюс на минус дает минус.
“+ ∙ – = –”
Каждый случай ниже разберем подробно.
Умножение или произведение положительных целых чисел.
В данном случае мы умножаем два числа положительных знаков, поэтому тут все просто “ плюс на плюс дает плюс”. Произведение положительных целых чисел дает в результате положительное целое число. Рассмотрим пример:
Для наглядности разберем умножение со знаками.
(+5)∙(+8)=(+40)
В умножении не принято писать знак “+”, поэтому его можно опустить. Если перед число не стоит ни какого знака, то считается то перед этим числом стоит знак “+”.
5∙8=40
Умножение отрицательных целых чисел.
Правило умножения двух целых отрицательных чисел:
При умножении двух отрицательных целых чисел, будет равно произведению модулей этих чисел.
|-a|=a и |-b|=b
-a∙(-b)=a∙b
Или другими словами “минус на минус дает плюс”. При произведении двух отрицательных чисел, ответ будет равен положительному целому числу.
Пример:
Вычислите произведение целых чисел -12∙(-3).
Решение:
Два минуса при умножении дают в результате плюс. В ответе число будет с плюсом.
-12∙(-3)=36
Произведение целых чисел с разными знаками.
Не важен порядок множителей положительное число умножаем на отрицательное или отрицательное число умножаем на положительное, в результате всегда будет отрицательное целое число.
Правило умножения двух целых чисел с разными знаками:
При умножении двух целых чисел с разными знаками, их произведение будет равно целому отрицательному числу.
Если упростить определение то, обычно говорят:
“Минус на плюс дает минус”.
“Плюс на минус дает минус”.
Разберем пример:
Вычислить произведение целых чисел.
-4∙6=-24
А теперь докажем правильность этого решения.
-4+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)=-4∙6=-24
Шесть раз сложили число (-4).
Такой же ответ будет, если поменять местами числа.
6∙(-4)=-24
Умножение целого числа на нуль.
Правило умножения целых чисел на нуль.
Если любое целое число умножить на нуль, ответ будет равен нулю.
a∙0=0 или 0∙a=0
Пример:
Найдите произведение целого положительного числа 209 на нуль.
Пример:
Найдите произведение целого отрицательного числа (-39) на нуль.
Умножение целого числа на 1.
Правило умножения целого числа на единицу:
Произведение целого числа a и 1 равно a.
a∙1=a или 1∙a=a
Пример:
Вычислить произведение положительного целого числа 49 и единицы.
Пример:
Вычислить произведение отрицательного целого числа (-35 860) и единицы.
Решение:
1∙(-35 860)=-35 860
Пример:
Найдите произведение нуля и единицы.
Проверка результата умножения целых чисел.
Не всегда мы выполняем умножение простых чисел, бывают число объемные и сложные, поэтому нужно уметь проверять правильность выполненного умножения.
Как проверить результат умножения?
Умножение проверяется делением. Мы делим произведение на один из множителей.
Например:
Выполните умножение и сделайте проверку.
5∙12=60
5 – множитель;
12 – множитель;
60 – произведение.
Проверка:
60:12=5 или 60:5=12
Умножение или произведение нескольких целых чисел.
Чтобы посчитать произведение нескольких целых чисел, нужно умножать числа по парно или последовательно, например:
(-3) ∙5∙(-11) ∙(-9) ∙1= ( (-3) ∙5 ) ∙ ( (-11) ∙(-9) ) ∙1= ( (-15) ∙99 ) ∙1=(-1485) ∙1=-1485
Сначала сгруппировали по два числа ((-3) ∙5) и ((-11) ∙(-9)), потом ((-15) ∙99) и нашли ответ.
При перемножении целых чисел, результат всегда будет целым числом.
Вопросы по теме:
Как влияет при умножении на целое число (-1)?
Ответ: так как (-1) отрицательное число, при умножении на целое число происходит смена знака числа.
Пример: (-1) ∙3=-3 . Число 3 было со знаком “+”, а стало со знаком “–”.
Еще пример: (-1) ∙(-5)=5 . Число (-5) было со знаком “–”, а стало со знаком “+”.
Пример №1:
Найти произведение двух целых чисел: а) (-2) ∙235 б) (-34) ∙(-17) в) 1∙(-12) г) 0∙4983
Решение:
а) (-2) ∙235=-470
б) (-34) ∙(-17)=578
в) 1∙(-12)=-12
г) 0∙4983=0
Пример №2:
Чему равно произведение последовательных целых чисел, начинающихся числом -100 и оканчивающихся числом 100?
Решение:
Между числами -100 и 100 находится нуль, а любое число, умноженное на 0 равно 0. Поэтому произведение последовательных целых чисел от -100 до 100 равно 0.
Ответ: 0.
Пример №3:
Чему равно произведение всех целых чисел?
Решение:
Целые числа состоят из целых положительных и отрицательных чисел, а также нуля. При умножении любого числа на нуль будет 0. Поэтому произведение всех целых чисел равно 0.
Ответ: 0.
В этой статье мы разберемся, как выполняется умножение целых чисел. Сначала введем термины и обозначения, а также выясним смысл умножения двух целых чисел. После этого получим правила умножения двух целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. При этом будем приводить примеры с детальным пояснением хода решения. Также затронем случаи умножения целых чисел, когда один из множителей равен единице или нулю. Дальше мы научимся выполнять проверку полученного результата умножения. И, наконец, поговорим об умножении трех, четырех и большего количества целых чисел.
Навигация по странице.
Термины и обозначения
Для описания умножения целых чисел мы будем использовать такие же термины, с помощью которых мы описывали умножение натуральных чисел. Напомним их.
Умножаемые целые числа называются множителями. Результат умножения называется произведением. Действие умножение обозначается знаком умножить вида «·». В некоторых источниках можно встретить обозначение умножения знаками «*» или «×».
Умножаемые целые числа a , b и результат их умножения c удобно записывать с помощью равенства вида a·b=c . В этой записи целое число a – это первый множитель, целое число b – второй множитель, а число c – произведение. Выражение вида a·b также будем называть произведением, как и значение этого выражения c .
Забегая вперед, заметим, что произведение двух целых чисел представляет собой целое число.
Смысл умножения целых чисел
Вспомним для начала смысл умножения двух натуральных чисел. Произведение двух натуральных чисел a и b – это сумма b слагаемых, каждое из которых равно a .
Так как целые положительные числа являются натуральными числами, то за произведением целых положительных чисел оставим этот же смысл. То есть, 
, где a и b – любые целые положительные числа.
Более того, этот смысл сохраним и для произведения, в котором первым слагаемым является любое целое число (отрицательное, нуль или положительное), а вторым слагаемым является целое положительное число. Например, произведение целого отрицательного числа −4 и целого положительного числа 5 будем понимать как (−4)·5=(−4)+(−4)+(−4)+(−4)+(−4) .
В указанном свете умножение целого числа на единицу есть «сумма из одного слагаемого», равного первому множителю, то есть, a·1=a , где a – любое целое число. То есть, единицу будем считать нейтральным целым числом по умножению.
Аналогично, произведение целого числа и нуля есть «сумма, состоящая из нуля слагаемых». То есть, примем a·0=0 для любого целого числа a .
Произведению двух целых чисел, в котором вторым множителем является целое отрицательное число, не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование. Такие произведения будем рассматривать как некоторое обобщение. Примем для себя лишь одно условие: правила умножения на целое отрицательное число должны быть такими, чтобы оставались справедливыми свойства умножения, характерные для умножения целых положительных чисел, то есть, чтобы сохранялись свойства умножения натуральных чисел, в частности, переместительное и сочетательное.
Правила умножения двух целых чисел
Можно выполнять умножение двух целых чисел на основании смысла этого действия. Но, во-первых, нахождение суммы одинаковых слагаемых, когда этих слагаемых много, является очень трудоемким процессом. А во-вторых, смысл умножения целых чисел не позволяет находить произведения, в которых вторым множителем является отрицательное число. Поэтому, нам нужны правила, с помощью которых мы будем вычислять произведения двух целых чисел.
Сейчас мы получим правила умножения целых чисел, позволяющие свести умножение целых чисел к хорошо известному нам умножению натуральных чисел.
Умножение целых положительных чисел
Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому умножение целых положительных чисел проводится по всем правилам умножения натуральных чисел. Понятно, что в результате умножения двух целых положительных чисел получится целое положительное число (натуральное число). Рассмотрим пару примеров.
Вычислите произведение целых положительных чисел 9 и 7 .
В этом материале мы покажем, как правильно выполнять умножение целых чисел. Начнем, как всегда, с основных понятий и обозначений и выясним, какой смысл вкладывается в умножение двух целых чисел. Затем сформулируем правила, по которым перемножают целые положительные и целые отрицательные числа, а также числа, имеющие разные знаки. Как всегда, нашу мысль будем пояснять наглядными примерами решений задач. Далее рассмотрим те случаи, когда один из множителей нулевой или равен единице, посмотрим, как можно проверить верность результата, полученного после умножения, а в конце объясним, как правильно перемножать 3 , 4 и большее количество целых чисел.
Основные определения при умножении целых чисел
При умножении целых чисел используются те же термины и знаки, о которых мы говорили ранее в статье об умножении натуральных чисел. У нас есть два множителя, которые являются целыми числами, результат, называемый произведением, и знак умножения в виде точки, звездочки или знака " x " (в целях единообразия в дальнейшем будем использовать точку).
Если обозначить множители и произведение буквами a , b и c , то действие умножения можем записать в виде равенства a · b = c . Само числовое выражение a · b тоже называется произведением. Произведение двух целых чисел также является целым числом.
В чем состоит смысл умножения целых чисел?
До этого мы уже объясняли смысл умножения на примере натуральных чисел. Произведение натуральных чисел a и b представляет собой сумму b слагаемых, каждое из которых равно a .
Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому смысл действия умножения для них точно такой же. В буквенном виде его также можно представить как
(значения a и b – целые положительные числа).
В принципе, этот смысл распространяется на все произведения, где одно слагаемое целое и положительное. Второе при этом также должно быть целым, однако оно может быть отрицательным или даже равным нулю. Так, схема умножения числа — 3 на 5 будет выглядеть как ( − 3 ) · 5 = ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) + ( − 3 ) .
Если вторым множителем является единица, то результат умножения – это сумма одного слагаемого, которое равно другому множителю. Это можно записать как a · 1 = a . Результат умножения целого числа на единицу есть само это число.
А как быть в случае, если одно из множителей нулевое? Получается, что в ответе будет сумма из 0 слагаемых. Очевидно, что это будет 0 . Запишем, что a · 0 = 0 для любого целого a . Умножение целого числа на ноль дает в результате ноль.
В случае с отрицательными числами общий смысл действия умножения сформулировать достаточно сложно. Примем это действие как данность и подчеркнем, что правила умножения в таком случае должны сохранять справедливыми свойства умножения для целых положительных чисел. В частности, такое числовое выражение должно обладать переместительным и сочетательным свойствами.
Основные правила, применяемые при умножении целых чисел
Можно выполнить умножение исходя из того, что оно по сути представляет собой сложение одинаковых слагаемых. Но, как мы уже отмечали, это долгий и трудный процесс, если таких слагаемых у нас много. А если одним из множителей является отрицательное число, то воспользоваться этим способом мы не можем. Поэтому нам надо вывести особые правила для умножения целых чисел. Сформулируем и запишем их.
Как умножать одно целое положительное число на другое
Целые положительные числа относятся к натуральным, поэтому правила умножения натуральных чисел распространяются и на них. В итоге мы, разумеется, получим целый положительный результат, т.е. натуральное число. Разберем конкретные примеры.
Подсчитайте, сколько будет 9 умножить на 7 .
Решение
Обратимся к таблице умножения и возьмем из нее готовый результат.
Получим: 9 · 7 = 63 .
Ответ: 63 .
Сколько будет 127 умножить на 5 ?
Решение
Представим первый из множителей как сумму разрядных слагаемых, т.е. 100 + 20 + 7 .
Теперь последовательно умножим слагаемые на данное число: 127 · 5 = ( 100 + 20 + 7 ) · 5 = 100 · 5 + 20 · 5 + 7 · 5 .
Заканчиваем вычисление: 100 · 5 + 20 · 5 + 7 · 5 = 500 + 100 + 35 = 600 + 35 = 635 .
Ответ: 635 .
Чтобы перемножать многозначные числа, удобно пользоваться методом подсчета в столбик.
Условие: умножьте 712 на 92 .
Решение: запишем множители в столбик и вычислим результат.
Ответ: 65 504 .
Как правильно перемножить целые числа, имеющие разные знаки
Для того чтобы вывести правило для такого случая, приведем пример.
Итак, нам надо вычислить произведение числа — 5 на 3 . Вспомним смысл умножения и запишем: ( − 5 ) · 3 = ( − 5 ) + ( − 5 ) + ( − 5 ) = − 15 . Если учесть переместительное свойство, то должно быть верным и ( − 5 ) · 3 = 3 · ( − 5 ) . Очевидно, что модуль числа, полученного в результате, соответствует произведению данных множителей. Таким образом, произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.
Чтобы умножить одно отрицательное число на одно положительное, надо перемножить между собой модули этих чисел и поставить перед результатом минус.
Разберем несколько примеров, подтверждающих это правило.
Умножьте 7 на — 14 .
Решение
Запишем отдельно модули исходных множителей. Получим 7 и 14 . Подсчитаем, чему будет равно их произведение: 7 · 14 = 98 . Все, что нам нужно сделать дальше, – это поставить знак минуса перед полученным числом.
Ответ: 7 · ( − 14 ) = − 98 .
Подсчитайте, сколько будет ( − 36 ) · 29 .
Решение
Согласно правилу умножения чисел с разными знаками, нам нужно начать с умножения модулей. Считаем: 36 · 29 = 1 044 . Здесь удобно будет воспользоваться методом умножения в столбик. Нам осталось поставить минус перед результатом и записать готовый ответ.
Ответ: ( − 36 ) · 29 = − 1 044 .
В последней части параграфа мы попробуем доказать, что равенство a · ( − b ) = − ( a · b ) справедливо ( a и b здесь – любые целые числа). Правило умножения целых чисел с разными знаками, которое мы записали выше, является частным случаем этого равенства.
Задача сводится к тому, что нам надо доказать, что значениями выражений a · ( − b ) и a · b будут противоположные числа. Для этого вычислим сумму a · ( − b ) + a · b . Она будет равна 0 . Учитывая распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения, справедливым будет a · ( − b ) + a · b = a · ( ( − b ) + b ) . Сумма ( − b ) + b –это ноль, потому что это сумма противоположных чисел, в итоге получается, что a · ( ( − b ) + b ) = a · 0 . Итоговое произведение равно 0 , согласно свойству умножения целого числа на 0 . Получается, что a · ( − b ) + a · b = 0 , значит, a · ( − b ) и a · b являются противоположными числами. Отсюда вытекает справедливость равенства a · ( − b ) = − ( a · b ) . Таким же образом можно показать, что ( − a ) · b = − ( a · b ) .
Как перемножить целые отрицательные числа
Для получения этого правила нам понадобится равенство ( − a ) · ( − b ) = a · b . Ниже мы приведем его доказательство.
Перед этим мы писали, почему a · ( − b ) = − ( a · b ) и ( − a ) · b = − ( a · b ) , следовательно, мы можем записать цепочку равенств ( − a ) · ( − b ) = − ( a · ( − b ) ) = − ( − ( a · b ) ) .
У нас получилось выражение − ( − ( a · b ) ) , которое идентично a · b в силу определения противоположных чисел. Таким образом, ( − a ) · ( − b ) = a · b .
Теперь мы можем перейти к формулировке правила умножения целых отрицательных чисел.
Чтобы найти произведение целых отрицательных чисел, нам надо вычислить произведение их модулей.
Из правила ясно, что результат умножения двух отрицательных свойств есть число положительное.
Посмотрим, как применить это правило на практике.
Умножьте ( − 34 ) · ( − 2 ) .
Решение
Воспользуемся правилом и просто перемножим между собой модули: — 34 = 34 и — 2 = 2 .
Весь ход решения можно записать как ( − 34 ) · ( − 2 ) = 34 · 2 = 68 .
Ответ: 68 .
Умножьте − 1 041 на — 538 .
Решение
Вычисляем модули и перемножаем их столбиком.
Ответ: ( − 1 041 ) · ( − 538 ) = 560 058 .
Как умножить целое число на единицу
Мы уже упоминали, что если мы умножим на единицу любое целое число, то результат будет равен этому же числу, то есть a · 1 = a . Так как числовое выражение с умножением обладает переместительным свойством, то a · 1 = 1 · a тоже должно быть верным. Получается, что 1 · a = a . Выведем основное правило и запомним его:
Если умножить два целых числа, одно из которых равно 1 , то результат будет равен второму числу.
К примеру, 58 · 1 = 58 , 1 · 0 = 0 и 1 · ( − 602 ) = − 602 . Как видно, от значения второго множителя результат не зависит: произведение − 53 и 1 – это − 53 , а результат умножения 1 и отрицательного целого числа − 989 981 – это − 989 981 .
Как умножить целое число на нуль
Умножение любого целого числа на нуль дает нам в итоге нулевой результат, т.е. a · 0 = 0 . С учетом переместительного свойства умножения мы получим, что 0 · a = 0 тоже будет верно. Запомним:
Если умножить два целых числа, одно из которых равно 0 , то результат тоже будет равен 0 . Умножение нуля на нуль в итоге также дает нуль.
Так, произведение 678 на 0 – это 0 ; произведение — 45 на нуль – тоже нуль; ( − 90 7789 ) · 0 = 0 .
Обратное утверждение тоже будет верным: если произведение двух чисел равно нулю, то один или оба множителя тоже равны нулю.
Как проверить результат умножения целых чисел
Для проверки точности результата умножения нам потребуется вспомнить действие деления. Нужно разделить итоговый результат на один из множителей. Если в итоге мы получим второй множитель, то мы все посчитали правильно. Если же результат будет отличен от значения другого множителя, значит, расчет ошибочен и его нужно переделать.
Посмотрим на примерах, как правильно проверить результат умножения целых чисел.
После умножения 21 на — 5 получилось — 115 . Проверьте, верен ли результат.
Решение
Для проверки нам надо разделить произведение на любой множитель. Возьмем — 5 . Делимое и делитель у нас отрицательные, значит, в итоге мы получим частное от деления их модулей: ( − 115 ) : ( − 5 ) = 115 : 5 (посмотрите статью о том, как делить целые отрицательные числа).
В итоге мы получим 23 , хотя второй множитель в исходных данных равен 21 . Значит, вычисления были ошибочными.
Ответ: результат деления неверен.
Умножьте — 17 на — 67 и проверьте точность результата.
Решение
Вспоминаем, как правильно умножать целые отрицательные числа. Считаем: ( − 17 ) · ( − 67 ) = 17 · 67 = 1 139 . Теперь переходим к проверке. Для этого делим столбиком результат на любой множитель, например, на — 67 .
Согласно правилам деления чисел с разными знаками, сначала мы проводим подсчеты с их модулями: 
Теперь перед результатом мы должны поставить минус.
У нас получилось — 17 , что соответствует первоначальному условию. Значит, мы все сделали правильно.
Ответ: ( − 17 ) · ( − 67 ) = 1 139 .
Как перемножить три целых числа и более
Зная, что числовое выражение с умножением имеет сочетательное свойство, мы можем точно подсчитать произведение 3 , 4 , 5 и большего количества множителей. А благодаря остальным свойствам можно сказать, что результат произведения не будет определяться положением множителей в примере и способом расстановки скобок. Ранее мы уже приводили обоснования этих утверждений в случае с натуральными числами. Для примера с целыми множителями эти правила работают таким же образом.
Посмотрим на конкретный пример.
Найдите произведение 5 -ти множителей: 5 , − 12 , 1 , − 2 и 15 .
Решение
Заменим соседние множители их произведением и запишем, что
5 · ( − 12 ) · 1 · ( − 2 ) · 15 = ( − 60 ) · 1 · ( − 2 ) · 15 = ( − 60 ) · ( − 2 ) · 15 = 120 · 15 = 1 800
С расстановкой скобок можно записать так: ( ( ( 5 · ( − 12 ) ) · 1 ) · ( − 2 ) ) · 15 . Это позволит нам делать вычисления быстрее и проще.
Можно было переставить множители и по-другому: 1 · 5 · ( − 12 ) · ( − 2 ) · 15 , в таком случае скобки надо было расставить так: ( ( 1 · 5 ) · ( − 12 ) ) · ( ( − 2 ) · 15 ) = ( 5 · ( − 12 ) ) · ( ( − 2 ) · 15 ) = ( − 60 ) · ( − 30 ) = 1 800 .
Мы видим, что результат будет одинаков вне зависимости от метода расстановки скобок и последовательности вычислений.
Ответ: 1800 .
Если хоть один из множителей в примере был бы нулевым, то подсчет не имел бы смысла. Мы сразу могли бы сказать, что результат будет равен 0 . Это не зависит от значения других множителей, они могли бы быть любыми. Обратное утверждение также будет справедливо: если произведение нескольких множителей равно 0 , то один из этих множителей будет нулевым.
