Типы особых точек тфкп

Особенность (особая точка) голоморфной функции f — точка комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе.

Возможны две классификации особых точек. Во-первых, допустима классификация по теоретико-множественным свойствам их множества:

• Изолированная особая точка — точка, для которой существует некоторая проколотая окрестность, в которой эта функция аналитична.
• Неизолированная особая точка — особая точка, не являющаяся изолированной. В этом случае можно говорить о так называемом особом множестве.

Виды особенностей [ править | править код ]

В свою очередь, изолированные особенности можно разделить на три вида:

• Устранимая особая точка — точка, в которой функция не определена, но предел функции в которой конечен, соответственно, в этой точке функцию можно доопределить значением этого предела и продолжить её до функции, в этой точке аналитической.
• Полюс — точка, в которой предел функции бесконечен. При рассмотрении функции как отображения не в комплексную плоскость, а в сферу Римана, полюс не следует считать какой-либо особой точкой; см. мероморфная функция.
• Существенно особая точка — точка, в которой предел функции не существует.

Особенности на римановых поверхностях [ править | править код ]

Особенности также можно рассматривать у голоморфных функций, определённых на римановых поверхностях. В частности, если позволить переменной z принимать значения не только на комплексной плоскости, а на сфере Римана, то особенность в бесконечности для функции f определяется по степени «особенности» точки 0 для функции F ( w ) = f ( 1 w ) <displaystyle F(w)=fleft(<frac <1>>
ight)> .

Точка z, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f(z), если такая, что f(z) является однозначной аналитической функцией в (в самой точке аналитичность f(z) нарушается).

Изолированная особая точка z функции f(z) называется:

• устранимой особой точкой, если существует и конечен;
• полюсом, если ;
• существенно особой точкой, если не существует.

ПРИМЕР 1. Отыскание особых точек рациональной дроби.

ПРИМЕР 2. Определение типа особых точек.

ПРИМЕР 3. Определение типа особой точки.

Для того чтобы особая точка функции f(z) была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z — устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f(z) имеет вид: (1)
для z — конечной точки, принадлежащей области комплексных чисел.

Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов.

Ряд Лорана функции f(z) в случае z-полюс имеет вид:
(2)
если z принадлежит области комплексных чисел.

Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.
Так, точка z является полюсом порядка n функции f(z), если в разложении (2) , C_k = 0 при k

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Описание файла

Файл "17. Классификация особых точек функции комплексной переменной" внутри архива находится в следующих папках: Семинары по ТФКП, Семинары по ТФКП. PDF-файл из архива "Семинары по ТФКП", который расположен в категории "лекции и семинары". Всё это находится в предмете "теория функций нескольких переменных (тфкп) — высшая математика" из четвёртого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Семинар 17Классификация особых точек функции комплексной переменнойПусть— однозначная функция.О. Если функцияявляется аналитической в точке , тоназывается правильнойточкой функции.О. Если— предельная точка области определения функции, но функциянеявляется аналитической в точке , то называется особой точкой (ОТ) функции.Также к числу особых точек функции причисляют бесконечно удалѐнную точку.О. Если функцияявляется аналитической в некоторой проколотой окрестности осо||бой точки :(т. е. в этой окрестности нет других особых точек), то —изолированная особая точка (ИОТ) функции.Заметим, что в проколотой окрестности изолированной особой точки||(в кольце) функцияединственным образом раскладывается в рядЛорана вида∑Ни в какой проколотой окрестности неизолированной особой точки (НОТ) функцияне раскладывается в ряд Лорана.О.

(классификация ИОТ). Пусть— конечная () ИОТ однозначной функции, и в проколотой окрестности точкисправедливо разложение функциив рядЛорана вида∑1)Тогда— устранимая особая точка (УОТ) функции. В этом случае главнаячасть ряда Лорана отсутствует, т. е. это степенной ряд. В УОТ функциюможнодоопределить (переопределить) по непрерывности:. Тогда функциястанет аналитической в точке .Пример. ∑∑| |∑Здесь мы сделали замену:.

Если функциюдоопределить в точкееѐ предельным значением , то функция станет аналитической в точке.∑2), где,. (Главнаячасть ряда Лорана содержит конечное число ненулевых членов.)Тогда — полюс порядка функции.Пример. Функция уже является своим рядом Лорана вида ∑состоит из одного слагаемого:, т. е.при | |, который— полюс первого порядка для функ-ции .3)∑, и главная часть ряда Лорана содержит бесконечно многоненулевых членов (с отрицательными степенями).1Тогда — существенно особая точка (СОТ) функцииПример. ∑.| |∑О. Бесконечно удалѐнная точкаявляется для функцииособой точкой того жетипа, что и точкадля функции ( ).Таким образом, чтобы исследовать тип ИОТдля функции, можно сделать заменуи исследовать тип ИОТдля функции ( ).Пример:. Как мы только что убедились, точкаявляется СОТ для функции ( ), поэтому точкаявляется СОТ для функции.Ещѐ пример:. Как мы показали выше, точкаявляется полюсом первого порядка для функции ( ), поэтому точкаявляется полюсом первого порядка дляфункции.Ещѐ пример:.

Как мы показали выше, точкаявляется УОТ для функции ( ), поэтому точкаявляется УОТ для функции.Т. (характеристические свойства ИОТ). Пусть— ИОТ однозначной функцииТогда1)— УОТ(конечный предел);2)— полюс3)— СОТ;(не существует ни конечного, ни бесконечного предела);(— полюс порядка4).) при, т. е.(конечный предел);— полюс порядка5), где функцияв некоторой проколотой окрестности точкиявляется аналитической в точкеи:.Пример 1 (задача к общему зачёту № 43). Определить тип особых точек функции.ОТ:а),.

Все они — ИОТ. Существует конечный пределб).Докажем, что, поэтому— УОТ..Рассмотрим две последовательности точек, лежащих на вещественной оси. (здесь √ означает арифметический корень).√Тогда√,при,и2()(()при)(,при)Это означает, что.(не существует ни конечного, ни бесконечного предела всмысле определения предела функции по Гейне). Значит,в).()— СОТ.— полюс. Осталось определить его порядок.

Име-ем:где функция— аналитическая в окрестности точки(и)Значит, точка— полюс первого порядка.г).Тут всѐ аналогично случаю б):где функция— аналитическая в окрестности точки(и)Значит, точка— полюс первого порядка.Ответ: — УОТ, 0 — СОТ,— полюсы первого порядка.Пример 2. Определить тип особых точек функцииОсобые точки:.и нули знаменателя. Найдѐм их:| |I R а) Заметим, что— НОТ, т. к. в любой еѐокрестности (| |) найдутся другие особые точкивида.б) Рассмотрим ОТ,. Все они — ИОТ.Зафиксируем некоторое и найдѐм предел3Значит, точкаявляется полюсом. Остаѐтся определить, какого порядка.

Если точкаявляется полюсом, то:(конечный предел). Причѐм числоиз этого условия определяется однозначно (нетрудно заметить, что для других натуральныхданный предел будет равен 0 или ). Будемвычислять данный предел для, пока не получим конечное ненулевое значение. Для:Здесь мы использовали правило Лопиталя для раскрытия неопределѐнности типа .Поскольку мы доказали, что существует конечный предел, тоОтвет:— полюс первого порядка,.— НОТ,— полюсы первого порядка,.Точки ветвленияПусть— многозначная функция, которая распадается на однозначные аналитическиеветви(например, √ или). Многозначные функции могут иметь ещѐ один типОТ — точки ветвления.О. Точканазывается точкой ветвления функции, если в некоторой окрестноститочки при обходе по любому простому замкнутому контуру вокруг точки одна ветвьфункции, изменяясь непрерывно, переходит в другую еѐ ветвь.В проколотой окрестности точки ветвления однозначные функциинельзя разложитьв ряд Лорана, ибо они не являются аналитическими (они могут быть аналитическими вокрестности с разрезом).Пример: рассмотримний.√√(), где,Имеется две ветви:(I R ,√— одно из значе-и),√√√каждая из которых аналитична на комплексной плоскости с разрезом.Рассмотрим простой замкнутый контур , охватывающий точку(например, окружность).

Возьмѐм вкачестве начальной точки точкуи будем обходить контур в положительном направлениитак, чтобы аргумент изменялся непрерывно, тогда изначение√будет изменяться непрерывно.4После полного обхода по контуруличится наниюмы вернѐмся в начальную точку, но аргумент, то есть вместо начального значения√уве-мы придѐм к значе-√Т. е. при обходе по замкнутому контуру мы переходим на другую ветвь. Если мы ещѐ разобойдѐм по контуру , то ветвь вновь перейдѐт в ветвь .Таким образом,— точка ветвления многозначной функции√ .Для точкисправедливы те же рассуждения (контур берѐтся такой же), она также является точкой ветвI ления.Любая конечная точкане является точкой ветвления, т.

к. при обходе по замкнутому контуру, охватывающему точку , но не охватывающему точку , аргуR мент , изменяясь непрерывно, вернѐтся к своему первоначальному значению (ибо аргумент— это уголмежду радиус-вектором точкии положительнымнаправлением вещественной оси), и смены ветви непроизойдѐт.Пример 3 (дополнительный). Определить тип особых точек функции.| || |Зафиксировав , получим однозначную ветвь логарифма.Каждая из ветвей логарифма — аналитическая функция на плоскости с разрезом (разрезможно проводить по любому лучу вида).

Точкииявляютсяособыми для функции(точки ветвления, как и для √ ). Тогда для функцииособыми будут точкии.а) Рассмотрим точку..Каждая озднозначная ветвь логарифма изменяется непрерывно, когда аргументизменяется непрерывно.При обходе против часовой стрелки по замкнутому контуру, охватывающемуточку , но оставляющему вне себя точку , аргументувеличится на(—этовектор,проведѐнный из точкивI точку , а аргумент—это угол между даннымвектором и положительнымнаправлением вещественнойоси), а аргументнеизменится.Заметим,чтоприперемножениидвухкомплексныхчиселихаргументыскладываются:R 5Поэтому аргумент произведенияувеличится на, и мы перейдѐм содной ветви логарифма на другую ветвь.Таким образом,— точка ветвления.б)— также точка ветвления (всѐ аналогично случаю а)).в).При обходе против часовой стрелки по замкнутому контуру, вне которого нетдругих особых точек, аргументувеличится на , и аргументувеличитсяна.

Аргумент произведенияувеличится на, и мы перейдѐм содной на другую ветвь логарифма (но уже не на соседнюю).Значит,— точка ветвления.Ответ: , — точки ветвления.ДЗ 17. КРАМ гл. II № 4.3, 4.4, 4.6(а), 4.8, 4.14, 5.2, 5.8 (задачи для самостоятельного решения).6.