Угол между ребрами пирамиды по координатам

Угол между ребрами пирамиды по координатам

Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC — основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж.
Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x2 — x1; Y = y2 — y1; Z = z2 — z1
Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0).
AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2) .
Длину вектора находим по формуле:

Даны координаты пирамиды: A1(1,8,2), A2(5,2,6), A3(5,7,4), A4 (4,10,9).
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj — x i; Y = yj — y i; Z = zj — z i
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi — координаты точки А i; xj, yj, zj — координаты точки А j;
Для вектора A1A2
X = x2 — x 1; Y = y2 — y 1; Z = z2 — z 1
X = 5-1; Y = 2-8; Z = 6-2
A1A2 (AB)(4;-6;4)
A1A4 (AD) (3;2;7)

Модули векторов (длина ребер пирамиды).
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
|a| = √(X²+Y²+Z²).
A1A2 (AB) = √(4²+(-6)²+4²) = √68 ≈ 8,246.
A1A4 (AD) = √(3²+2²+7²) = √62 ≈ 7,874.

Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

где a1*a2 = X 1*X2 + Y 1*Y2 + Z 1*Z2.
Найдем угол между ребрами A1A2(4;-6;4) и A1A4(3;2;7):
cosα = (4*3+(-6)*2+4*7)/(√68*√62) = 0,431.
α = arccos(0.431) = 64,4560° .

2) Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Найдём вектор A1A3 (АС) (4;-1;2),
его модуль равен √(16+2+4) = √21 ≈ 4,583.
Векторное произведение:
i j k
4 -6 4
4 -1 2 =
=i((-6)*2-(-1)*4) — j(4*2-4*4) + k(4(-1)-4(-6)) = -8i + 8j + 20k
S=( 1/2)* | A1 A2 → ⋅A1A3 → |=(1/2)*|−8i+8j+20k|=(1/2)* √(8²+8²+20²) =(1/2)√528 ≈ 11,489 .

Читайте также:  Программа для скринов экрана ноутбука

3) Объем пирамиды равен:
(AB ; AC ; AS)= x3·a1+y3·a2+z3·a3.
Сначала используем найденное векторное произведение АВ*АС:
(AB)(4;-6;4)*(АС)(4;-1;2) =
x y z
AB*AC: -8 8 20, затем умножаем на вектор АД:
АВ*АС*АД = |(-8)*3+8*2+20*7| = 132.
Объём V пирамиды равен: V = (1/6)*( АВ*АС*АД) = (1/6)*132 = 20 куб.ед.

4) Длина высоты Н, проведенной из вершины D на основание АВС, равно:
Н = 6*V/(S(ABC)) = 6*22/( (1/2)√528) = 5,744563.

5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1
x3-x1 y3-y1 z3-z1 = 0
Уравнение плоскости A1A2A3 (ABC)
x-1 y-8 z-2
4 -6 4
4 -1 2 = 0
(x-1)((-6)*2-(-1)*4) — (y-8)(4*2-4*4) + (z-2)(4(-1)-4(-6)) = -8x + 8y + 20z-96 = 0
Упростим выражение: -2x + 2y + 5z — 24 = 0.
Можно умножить на -1, чтобы коэффициент при х был положительным:
АВС: 2х — 2у — 5z + 24 = 0.

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии в пространстве, которые относятся к исследованию пирамиды. Обычно в такой задаче нужно найти длины ребер, углы между ребрами, уравнения граней пирамиды и их площади, объем пирамиды, угол между ребром и гранью, уравнение высоты, длину высоты пирамиды и т.д.

Решения задачи о пирамиде онлайн

Задача 1. Для пирамиды с вершинами в точках $A_1, A_2, A_3, A_4$ найти:
А) длину ребра $A_1A_2$;
Б) угол между ребрами $A_1A_2$ и $A_1A_4$;
В) уравнение плоскости $A_1A_2A_3$;
Г) площадь грани $A_1A_2A_3$;
Д) угол между ребрами $A_1A_4$ и плоскостью $A_1A_2A_3$;
Е) уравнение высоты, опущенной из точки $A_4$ на грань $A_1A_2A_3$;
Ж) объем пирамиды $A_1A_2A_3A_4$.

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды $$A(12;11;17), B(14;12;14), C(13;14;15), D(12;21;12).$$ Найти:
— объем пирамиды;
— площадь грани $ABC$;
— уравнение плоскости, проходящей через точки $B,C,D$;
— длину высоты пирамиды, опущенной на грань $ABC$.

Читайте также:  Примерка стрижки по фото

Задача 3. Пирамида $АВСD$ задана координатами своих вершин: $$А(4, -1,0), B(2, 3, 4), C(-1, 4, 1), D(4, -3, 5).$$ Найдите:
1. угол между ребрами $АВ$ и $АС$,
2. уравнение ребра $АВ$,
3. уравнение грани $АВС$,
4. уравнение высоты, опущенной из вершины $D$, на грань $АВС$,
5. выясните, образуют ли векторы $АВ, АС, АD$ линейно независимую систему,
6. координаты вектора $MN$, если $М$ – середина ребра $AD$, $N$ – середина ребра $ВC$,
7. разложите вектор $MN$ по базису $AB, AC, AD$, если он таковым является.

«>

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector