Уравнение движения частицы имеет вид r

Уравнение движения частицы имеет вид r

Импульс

Координаты и скорость — это кинематические характеристики частицы. Они не отражают свойства частицы как реального физического объекта. Импульс — динамическая характеристика. По определению импульс равен

где v — скорость частицы; т — некоторое свойство частицы, называемое массой.

Масса — это первичное понятие, не сводимое к другим. Смысл этой величины и способ ее измерения прояснится далее.

При малых скоростях знаменатель в формуле (2.33) близок к единице, и в этом случае

Формула (2.34) является определением импульса в так называемой классической, или нерелятивистской (от слова relativity — относительность), механике.

Уравнения движения (законы Ньютона)

В основе динамики лежит ряд утверждений, принимаемых в качестве аксиом.

  • 1. Свободная частица в инерциальной системе отсчета движется с постоянной скоростью (первый закон Ньютона). Под свободной частицей понимается частица, никак не взаимодействующая с другими телами.
  • 2. При наличии взаимодействия имеет место уравнение

где р — импульс частицы, определяемый формулой (2.33) или (в классической механике) (2.34) (второй закон Ньютона).

Величина, стоящая в правой части уравнения (2.35), характеризующая взаимодействие частицы с остальным миром, называется силой. Фактически здесь утверждается, что во всех случаях удастся

подобрать такую векторную функцию F, что движение частицы будет подчиняться уравнению вида (2.35). Задачей физики является нахождение сил для различных взаимодействий.

Уравнение (2.35) означает, что за малое время ДГ изменение импульса частицы будет равно

При малых скоростях — = — (mv) = т—, и уравнение (2.35) при- dr dr dr

При этих же условиях уравнение (2.36) примет вид

Силы, действующие на макроскопическое тело, могут быть измерены динамометром (устройством типа пружинных весов), и уравнение (2.38) в этом случае дает способ определения массы тела, так как изменение скорости тела за данное время может быть измерено.

Из этого же уравнения усматривается смысл массы: масса определяет отклик тела на данную силу. Чем больше масса, тем слабее отклик, тем меньше изменение скорости тела. Житейское понятие массы связано с весом тела, т. е. с силой притяжения тела к Земле (с силой гравитационного взаимодействия тела с планетой Земля), которая по некоторым (глубоким) причинам, не связанным с обсуждаемым вопросом, оказывается пропорциональна массе. Правильное ощущение массы, не связанное с весом, имеют космонавты, так как в космическом корабле вес не проявляется, и, как мы уже обсуждали, именно космический корабль является хорошей инерциальной системой.

3. Два тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению (третий закон Ньютона).

Это утверждение верно в классической механике, но если тела взаимодействуют на большом расстоянии или движутся с большими скоростям, ситуация не столь проста. Обсуждение возникающих здесь проблем увело бы нас далеко в сторону, и в дальнейшем будем считать это утверждение справедливым.

Задача 2.6. Пуля пробивает стену. Оценить силу, действующую на стену. Масса пули 10 г, скорость пули на входе 300 м/с, на выходе 100 м/с, толщина стены 5 см.

Решение. При прохождении пули сквозь стену импульс пули изменяется, откуда следует, что на пулю действует сила. Обратимся к равенству (2.38). Пусть пуля движется вдоль оси х, стена — в плоскости yOz:. Имеем:

где Л/ — время действия силы (время взаимодействия пули со стеной). Для оценки времени взаимодействия предположим, что скорость пули в стене убывает линейно со временем (ускорение постоянно). Тогда

где Дх — толщина стены, и для силы получим Подставляя числа, найдем

Это сила, действующая на пулю со стороны стены. На стену по третьему закону Ньютона будет действовать сила -F.

Задача 2.7. Ситуация та же, что и в предыдущей задаче, но пуля выходит из стены под небольшим углом а к нормали к стене.

Решение. Пусть траектория пули лежит в плоскости хОу. Для изменения импульса получим

Для силы, действующей на пулю, будем иметь

Как видим, появилась составляющая силы, параллельная стене.

Из уравнения (2.35) можно сразу получить некоторые важные следствия. Подчеркнем прежде всего, что это векторное уравнение. Из него можно получить бесчисленное множество скалярных уравнений следующим образом.

Пусть единичный вектор Я задает некоторое неизменное направление. Скалярное произведение любого вектора на вектор Я даст число, которое есть проекция этого вектора на направление, задаваемое вектором Я: an — acosa = ап, где a — угол между векторами Я, Я. Умножим уравнение (2.35) скалярно на вектор Я. Получим

Скалярное произведение дифференцируется по обычному правилу дифференцирования произведения:

Учитывая это правило, а также то, что Я — постоянный вектор, из (2.39) получим

Это скалярное уравнение для проекции импульса на направление я. Из него, в частности, следует, что если проекция силы на некоторое направление все время равна нулю, проекция импульса на это направление не изменяется. (Пример: горизонтальная составляющая скорости брошенного камня не изменяется.)

Уравнений вида (2.41) можно получить сколько угодно, выбирая различные векторы я, но не все они будут давать что-то новое. Достаточно написать такие уравнения для трех различных векторов. Все остальные уравнения будут следствиями этих трех. Выбор этой тройки векторов произволен и диктуется соображениями удобства.

Уравнение (2.35) можно проектировать и на меняющееся направление. Один из полезных способов следующий.

Пусть т — единичный касательный вектор к траектории движущейся частицы, а я — вектор нормали (см. п. 1.2.4). Очевидно, что р • т = р. Умножим уравнение (2.35) скалярно на вектор т. Получим

Левую часть этого уравнения преобразуем с помощью тождества (2.41):

Вектор dx/dt направлен по нормали к траектории, и поэтому второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю. Уравнение (2.42) примет вид

где Fx — проекция силы на касательную к траектории (тангенциальная сила). Уравнение (2.43) определяет изменение модуля импульса под действием силы. Если тангенциальная составляющая силы отсутствует, величина импульса не изменяется со временем.

Читайте также:  Как восстановить старый пароль в одноклассниках

Формула (2.43) означает, что изменение модуля импульса за малое время Ы будет равно

Значение импульса к моменту t найдется как сумма малых изменений за время от нуля до t:

Здесь p(0) — начальное значение импульса. Если тангенциальная сила действует достаточно долго, конечное значение модуля импульса может быть сколь угодно велико, но скорость частицы не может быть сколь угодно велика. Из формулы (2.33) следует, что

Умножим уравнение (2.35) на единичный вектор нормали к траектории п:

Левую часть этого уравнения преобразуем по формуле (2.40):

Первое слагаемое в правой части (2.48) равно нулю, так как векторы р и п ортогональны и их скалярное произведение все время равно нулю. Если траектория частицы лежит в плоскости, можно показать, что — = -т—, где R — радиус кривизны траектории.

Подставляя это выражение в равенство (2.48) и возвращаясь к уравнению (2.47), получим

Нормальная составляющая силы определяет кривизну траектории.

Задача 2.8. В условиях задачи 1.13 определить силу, действующую на автомобиль.

Решение. Скорость автомобиля много меньше скорости света, р = mv, формула (2.49) дает F = mv 2 /R = тап. Если водитель не нажимает на тормоз, скорость постоянна и тангенциальная сила равна нулю, так что F= Fn. Если масса автомобиля т = 1000 кг, получим F= 4-10 4 Н. Откуда берется эта сила? Это сила сцепления колес с дорогой. Если сила сцепления окажется меньше, радиус кривизны будет больше, автомобиль не впишется в поворот и вылетит на обочину (при данных условиях это так и будет).

Замечание. Может возникнуть вопрос, уместно ли применять обсуждаемые уравнения движения к автомобилю, учитывая, что они формулировались для частицы, т. е. для точечного объекта. Хотя автомобиль ни в каком смысле не точечный объект, приведенное решение законно. Это станет ясным в дальнейшем, когда мы обсудим динамику твердого тела.

Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A+Bt+Ct 3 , где A=4 м, B=2 м/с, С=-0,5 м/с 3 . Для момента времени t1=2 с определить:

1) координату x1 точки, 2) мгновенную скорость v1, 3) мгновенное ускорение a1.

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t1:

Подставим в это выражение значения A, В, С, t1 и произведем вычисления:

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени:

Тогда в заданный момент времени t1 мгновенная скорость v1=B+3Ct1 2 .

Подставим сюда значения В, С, t1 и произведем вычисления: v1=-4 м/с.

Знак минус указывает на то, что в момент времени t1=2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:

Мгновенное ускорение в заданный момент времени t1 равно a1=6Ct1. Подставим значения С, t1и произведем вычисления:

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 2. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R=50 м. Уравнение движения автомобиля S(t)=A+Bt+Ct 2 , где A=10 м, B=10 м/с, С= – 0,5 м/с 2 . Найти: 1) скорость v автомобиля, его тангенциальное , нормальное аn. и полное а ускорения в момент времени t=5 с; 2) длину пути l и модуль перемещения | | автомобиля за интервал времени =10 с, отсчитанный с момента начала движения.

Решение. 1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую производную от координаты по времени:

.

Подставим в это выражение значения В, С, t и произведем вычисления:

Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени: Подставив значение С, получим = ‑ 1 м/с 2 .

Нормальное ускорение определяется по формуле . Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны траектории и произведем вычисления:

Полное ускорение является геометрической суммой ускорений и : . Модуль ускорения . Подставив в это выражение найденные значения а и аn получим

2. Чтобы определить путь l, пройденный автомобилем, заметим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути l равна изменению криволинейной координаты т. е.

l= , или .

Подставим в полученное выражение значения В, С, и произведем вычисления:

Модуль перемещения, как это видно из рис. 1, равен | |=2Rsin( /2),

Рис. 1

где — угол между радиусами-векторами, определяющими начальное и конечное положения автомашины на траектории. Этот угол (в радианах) находим как отношение длины пути l к радиусу кривизны R траектории, т. е. =l/R. Таким образом,

Подставим сюда значения R, l ипроизведем вычисления:

| |= 47,9м.

Пример 3. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой =10 с -1 , при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой = 6 с -1 . Определить угловое ускорение маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N=50 оборотов.

Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной и конечной угловыми скоростями соотношением , откуда Но так как то

Подставив значения , , , N и вычислив, получим:

=3,14(6 2 -10 2 )/50 рад/с 2 = – 4,02 рад/с 2 .

Знак минус указывает на то, что маховик вращался замедленно. Определим продолжительность торможения, используя формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью вращения и временем t: . По условиям задачи, угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно написать , тогда ,

Откуда:

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

Пример 4. К концам однородного стержня приложены две противоположно направленные силы: F1=40H и F2=100 H (рис. 2, a).

а)


Определить силу натяжения Т стержня в поперечном сечении, которое делит стержень на две части в отношении 1 : 2.

Читайте также:  Need for speed most wanted текстуры

Решение. Если бы силы F1и F2 были равны между собой, то сила натяжения в любом сечении стержня была бы одинаковой и равной силам, приложенным к концам стержня. Стержень в этом случае находился бы в покое. Но так как сумма сил, действующих на стержень, отлична от нуля, то стержень будет двигаться с ускорением, величина и направление которого определяются по второму закону Ньютона: , где т – масса стержня. Так как обе силы действуют вдоль прямой, то геометрическую сумму можно заменить алгебраической:

. (1)

При ускоренном движении стержня силы натяжения в разных сечениях различны. Для определения этих сил применим следующий прием: разделим стержень на две части в интересующем нас сечении и отбросим одну из них, например левую. Действие левой части на правую заменим силой натяжения Т (рис. 2, б). В результате действия разности сил F2 – Т оставшаяся правая часть стержня массой m1 должна двигаться с ускорением равным по величине и направлению прежнему ускорению, выражаемому формулой (1). Так как стержень однородный, то m1=m/3 и, следовательно,

. (2)

Приравнивая правые части равенства (1) и (2) и выражая из полученного равенства силу натяжения Т, находим

Пример 5. В лифте на пружинных весах находится тело массой т=10 кг (рис. 3, а). Лифт движется с ускорением а=2 м/с 2 . Определить показания весов в двух случаях, когда ускорение лифта направлено: 1) вертикально вверх, 2) вертикально вниз.

Решение. Определить показания весов — это значит найти вес телаG, т. е. силу, с которой тело действует на пружину. Но эта сила, по третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе упругости N (силе реакции опоры), с которой пружина через посредство прикрепленной к ней чашки весов действует на тело, т. е.

или G=N. (1) Следовательно, задача определения показания весов сводится к нахождению реакции опоры N.

Задачу можно решать как в инерциальной, так и неинерциальной системе отсчета.

Решение в инерциальной системе отсчета. На тело действуют две силы: сила тяжести и сила .

Направим ось z вертикально вверх и спроецируем на нее все силы, действующие на тело. Индекс z у проекции сил опустим, так как проекции и сами силы совпадают по величине. Направление сил учтем знаком плюс или минус. Напишем уравнение движения:

, откуда . (2)

Из равенств (1) и (2) следует:

.

При вычислении показания весов следует учесть знак ускорения:

1) ускорение направлено вертикально вверх (a>0), тогда:

Произведя вычисления по этим формулам, получим:

3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показывает, что в результате неупругого удара шаров произошло уменьшение их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шаров, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения:

Пример 10. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массой т2. Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Дата добавления: 2015-03-29 ; Просмотров: 2929 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

В начале 20 в. большинство ученых понимали молекулярную природу броуновского движения. Но все объяснения оставались чисто качественными, никакая количественная теория не выдерживала экспериментальной проверки. Кроме того, сами экспериментальные результаты были неотчетливы: фантастическое зрелище безостановочно мечущихся частиц гипнотизировало экспериментаторов, и какие именно характеристики явления нужно измерять, они не знали.

Несмотря на кажущийся полный беспорядок, случайные перемещения броуновских частиц оказалось все же возможным описать математически. Впервые строгое объяснение броуновского движения дал в 1904 г. польский физик Мариан Смолуховский СМОЛУХОВСКИЙ (Smoluhowski) (фон Смолан-Смолуховский) Марианн (1872-1917), польский физик-теоретик. Классические исследования по молекулярно-кинетической теории флуктуаций (1904) и броуновского движения (1906). Труды по кинетике коллоидных систем, критической опалесценции и др., который придумал для описания явления специальный тип дифференциальных уравнений — стохастические дифференциальные уравнения. Одновременно и независимо теорию этого явления разрабатывал Альберт Эйнштейн, в то время еще мало кому известный эксперт 2-го класса в Патентном бюро швейцарского города Берна. Его статья, опубликованная в мае 1905 г. в немецком журнале Annalen der Physik, называлась «О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты». Этим названием Эйнштейн хотел показать, что из молекулярно-кинетической теории строения материи с необходимостью вытекает существование случайного движения мельчайших твердых частиц в жидкости или газе [6].

Приведем более простой, чем у этих авторов, вывод основного соотношения этой теории. Вследствие неполной компенсации ударов молекул на броуновскую частицу действует, как было отмечено выше, некоторая результирующая сила , под действием которой частицы и движутся. Кроме этой силы на частицу действует сила трения, вызванная вязкостью среды и направленная против силы .

Для простоты предположим, что частица имеет форму сферы радиуса . Тогда сила трения может быть выражена формулой Стокса

где — коэффициент внутреннего трения жидкости (или газа), — скорость движения частицы.

Уравнение движения частицы (второй закон Ньютона) имеет вид:

где m — масса частицы, r — ее радиус-вектор относительно произвольной системы координат, — скорость частицы и — равнодействующая сил, вызванных ударами молекул.

Рассмотрим проекцию радиус-вектора на одну из координатных осей, например на ось ОХ. Для этой составляющей уравнение (2) перепишется в виде:

где Fx — проекция силы по оси ОХ.

Найдем смещение х броуновской частицы, которое она получат под действием ударов молекул. Каждая частица все время подвергается соударениям с молекулами, после чего она меняет направление своего движения. Различные частицы получают смещение, отличающиеся как по направлению, так и по величине. Вероятное значение суммы смещений всех частиц равно нулю, так как смещения с равной вероятностью могут иметь и положительный и отрицательный знак. Среднее значение смещения частиц будет равно нулю. Не будет, в тоже время, равно нулю среднее значение квадрата смещения, т.е. величина , так как х 2 не изменяет своего знака при изменении знака х. Преобразуем уравнение (2) так, чтобы в него входила величина . для этого умножим обе части этого уравнения на х

Читайте также:  Почему принтер эпсон не захватывает бумагу

Используем очевидные тождества:

Подставив эти выражения в (4), получим:

Это равенство справедливо для любой частицы и поэтому оно справедливо также и для средних значений входящих в него величин, если усреднение вести по достаточно большому числу частиц. Поэтому можно написать:

где — среднее значение квадрата перемещения частицы, а — среднее значение ее скорости.

Что касается среднего значения величины , входящей в равенство, то оно равно нулю, так как для большого числа частиц х и Fx одинаково часто принимают как положительные, так м отрицательные значения.

Уравнение (3) принимает поэтому вид:

Величина в этом уравнении представляет собой среднее значение квадрата составляющей скорости по оси ОХ. Так как движения частиц вполне хаотичны, то средние значения квадратов составляющих скорости по всем трем координатным осям должны быть равны друг другу, т.е.

Очевидно также, что сумма квадратов средних значений составляющих скоростей по трем осям координат должна быть равна среднему значению квадрата скорости частиц . Следовательно,

Таким образом, интересующее нас выражение, входящее в (9), равно:

есть средняя кинетическая энергия броуновской частицы.

Сталкиваясь с молекулами жидкости или газа, броуновские частицы обмениваются с ними энергией и находятся в тепловом равновесии со средой, в которой они движутся. Поэтому средняя кинетическая энергия поступательного движения броуновской частицы должна быть равна средней кинетической энергии поступательного движения молекул жидкости (или газа), которая, как мы знаем, равна :

То обстоятельство, что средняя кинетическая энергия броуновской частицы равна (как и для газовой молекулы) имеет принципиальное значение. Действительно, уравнение справедливо для любых не взаимодействующих друг с другом частиц, совершающих хаотические движения. Будут ли это невидимые глазом молекулы или значительно более крупные броуновские частицы, содержащие миллиарды молекул — безразлично. С молекулярно-кинетической точки зрения броуновскую частицу можно трактовать как гигантскую молекулу. Поэтому выражение для средней кинетической энергии такой частицы должно быть таким же, как и для молекулы. Скорости же броуновских частиц, конечно, несравненно меньше соответственно их большей массе.

Вернемся теперь к уравнению (9), и, учтя (15), перепишем его в виде:

Это уравнение легко интегрируется. Обозначив , получаем:

И после разделения переменных уравнение преобразуется в виде:

Интегрируя левую часть этого уравнения в пределах от 0 до Z, а правую от 0 до t, получаем:

Рассмотрим величину на конкретном примере — растворе канифоли сосновой. Размер броуновской частицы порядка , вязкость жидкости , плотность вещества . Имея в виду, что масса частиц , мы получим, . Величина при имеет вид: , что во много раз меньше 1, следовательно, ей можно пренебречь. Тогда (21) перепишется в виде:

Для конечных промежутков времени и соответствующих перемещений уравнение (22) можно переписать в виде:

Среднее значение квадрата смещения броуновской частицы за промежуток времени вдоль оси ОХ, или любой другой оси, пропорционально этому промежутку времени.

Формула (24) позволяет вычислить среднее значение квадрата перемещения, причем среднее берется по всем частицам, участвующим в явлении. Но эта формула справедлива и для среднего значения квадрата многих последовательных перемещений одной-единственной частицы за равные промежутки времени. С экспериментальной точки зрения удобнее наблюдать именно перемещение одной частицы. Такие наблюдения и были проведены Перреном в 1909 году [2, с.41], подробнее его опыт опишем в следующем параграфе.

Экспериментальное обоснование формулы Эйнштейна-Смолуховского

В 1908 французский физик Жан Перрен ПЕРРЕН (Perrin) Жан Батист (1870-1942), французский физик, иностранный член-корреспондент РАН (1924) и иностранный почетный член (1929) АН СССР. С 1940 в США. Труды по различным вопросам физики. Доказал (1895), что катодные лучи являются потоком отрицательно заряженных частиц. Экспериментальные исследования Перреном броуновского движения (1908-13) явились подтверждением теории Эйнштейна — Смолуховского и окончательно доказали реальность существования молекул. Активный деятель Народного Фронта. Нобелевская премия (1926). начал количественные наблюдения за движением броуновских частиц под микроскопом. Крошечные шарики почти сферической формы и примерно одинакового размера Перрен получал из гуммигута — сгущенного сока некоторых тропических деревьев. Эти крошечные шарики были взвешены в глицерине, содержащем 12 % воды; вязкая жидкость препятствовала появлению в ней внутренних потоков, которые смазали бы картину. Следует отметить, что окуляр микроскопа был снабжен сеткой взаимно перпендикулярных линий, служивших координатной системой. Пользуясь этой сеткой, Перрен отмечал на ней последовательные положения одной частицы через определенные промежутки времени (30 с), потом зарисовывал (конечно, в сильно увеличенном масштабе) на разграфленном листе бумаги положение частиц. Соединив затем точки, отмечающие положения частицы, он получил картинку замысловатых траекторий. Такое хаотичное, беспорядочное движение частиц приводит к тому, что перемещаются они в пространстве довольно медленно: сумма отрезков намного больше смещения частицы от первой до последней точки. Из своих наблюдений Перрен мог измерить смещение и вычислить среднее значение их квадратов. Данные этих измерений находились в хорошем согласии с формулой Эйнштейна — Смолуховского

Следует отметить что, если бы Перрен смог определять положение броуновских частиц не через 30, а через 3 секунды, то прямые между каждыми соседними точками превратились бы в такую же сложную зигзагообразную ломаную линию, только меньшего масштаба (см. рис. 1.) [12,213].

Рис.1. Траектория движения броуновской частицы

Ж. Перрен исследовал также с помощью микроскопа распределение броуновских частиц по вертикали и показал, что, несмотря на действие земного притяжения, они остаются в растворе во взвешенном состоянии. Результаты, полученные Ж. Перреном, подтвердили теоретические выводы Эйнштейна [2].

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector