Уравнение малых поперечных колебаний струны

Уравнение малых поперечных колебаний струны

Уравнение гиперболического типа.

Постановка краевых задач

Основные уравнения математической физики.

Уравнения с частными производными второго порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессом колебаний (струн, стержней, мембран ит.д.). Ограничимся рассмотрением класса линейных уравнений.

Рассмотрим натянутую струну, закреплённую на концах. Под струной будем понимать упругую тонкую нить, которая может свободно изгибаться, то есть не оказывать ни какого сопротивления формы, но не изменять длины. Сила натяжения действующая на струну предполагается значительной, так чтобы можно пренебречь силой тяжести (для струны). Пусть струна, длина которой , в положении равновесия направлена по оси х. Рассматривать будем только малые поперечные колебания струны, полагая, что все движение будет происходить в одной плоскости, и все точки струны будут двигаться по оси х.

Функция u(x)описывает отклонение от положения в момент времени t. Будем рассматривать малые колебания. С точки зрения математики это означает что:

(1)

Пользуясь этим условием, определим удлинение, испытываемое участком струны . Длина дуги этого участка равна

(2)

В пределах нашей точности (1), уравнения участков струны в процессе колебаний не происходит. Таки образом, в силу закона Гука следует, что величина натяжения T в каждой точке не меняется со временем. С другой стороны можно показать, что натяжении не зависит и от координаты x , т.е.

Согласно принципу Даламбера сумма действующих в проекции сил равна нулю.

(3)

(4)

Где – это угол касательной к струне.

В силу произвольности и , можно утверждать, что напряжение не зависит от х: .

Для вывода уравнения поперечных колебаний струны воспользуемся вторым законом Ньютона. Импульс участка струны вдоль оси u равен

(5)

Где–линейная плотность струны. Согласно второму закону Ньютона, приравняем изменение импульса элемента струны за время импульсу всех сил, действующих на участок струны вдоль оси u равен. Таким образом, получаем интегральное уравнение

(6)

Найдем импульс всех сил действующие на участки струны. Проекция сил натяжения действует на вертикальную ось:

Сумма проекции сил на вертикальную ось:

Где— время

Проекция сил натяжения:

(7)

Импульс внешних сил, будем считать что эта сила непрерывна распределяется по струне с плотностью. Интегрируем по и , получаем:

(8)

Импульс сил сопротивления:

(9)

k – коэффициент сопротивления.

Выражение (6) приравниваем к выражению (8)+(7)+(9) и получаем:

(10)

интегральное уравнение для малых поперечных волн. Перейдем к дифференциальной форме, для этого должны существовать две непрерывные функции. Применяя теорему о среднем и теорему Лагранжа, из формулы (10) получим:

(11)

Делим на

(12)

Получили уравнение малых поперечных волн в дифференциальной форме или его еще называют волновое уравнение.

Для однородной средытогда уравнение (12)становится проще:

(13)

Получили уравнение вынужденных малых колебаний.

Где; ; .

Если пренебречь силой сопротивления, то получим уравнение вынужденных колебаний без учёта сопротивления:

(14)

Без отсутствия внешних сил уравнение (14) примет вид:

(15)

Это простейшее уравнение гиперболического типа. Оно описывает свободные колебания струны.

Дата добавления: 2014-01-15 ; Просмотров: 1878 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Читайте также:  Osu на стороне сервера произошла ошибка

Основные понятия

Начальные условия – картина процесса в некоторый момент t.

Граничные условия – режим (описание процесса) на границе среды где происходит процесс.

Краевая задача мат физики – ДУ с заданными граничными и начальными условиями (Краевыми условиями).

Корректность.

Краевая задача должна удовлетворять условиям корректности:

1 Решение должно существовать в каком либо классе функций

2 Решение должно быть единственным

3 Решение должно непрерывно зависеть от начальных и граничных данных, от свободных членов, коэффициентов уравнения.

Данные определяются экспериментальным путем, т.е значения получают приближенные.

Решение задачи не должно существенно зависить от погрешности.

Вывод уравнений малых поперечных колебаний струны

Найти u(x, t). закон перемещения струны.

T(x, t) – сила натяжения струны в т х в момент времени t.

— величина постоянная.

-плотность

Закон Ньютона F=m*a,

Внешние силы : F(x,t) – плотность внешних сил действующих в т х в t

-катет

По теореме о среднем

-достаточно мало =>

Аналогично выводим уравнение продольные колебания струны

S – площадь сечения E(x) – Модуль Юнга.

Вывод уравнения распространения тепла

|n|=1 внешняя единичная нормаль

U(x,t) – температура реды в т x (x1,x2 x3) в t

плотность среды

С(х) – удельная теплоемкость

K(x) – коэффициент теплопроводности

F(x) – интенсивность источника тепла в х в t

Производная по направлению – скалрное произведение градиента на нормаль

Через поверхность S в объем V поступает в промежуток времени [t, t+dt] количество тепла

Составим уравнение баланса тепла

Q2 – тепло которое возникает внутри за счет самого источника

Q1 – отток тепла через границу

Изменение температуры u(x,t) за время dt равно u(x, t+dt) – u(x,t)

На это затрачивается количество тепла

Q2 – Забирание тепла извне

Q2 – кол во внутреннего тепла

V – стягиваем в точку

Всилу произвольности V =>

Однородные интегральные уравнения

2 общих интеграла, 2 независимых решения

–уравнение с разделяющимися переменными

– решение 1.

Неоднородные уравнения

-решение

при условии

Находим частные производные по x

Пусть функция такая , что функциональное уравнение определяет функцию удовлетворяющую

ДУ гиперболического типа

f – внешние силы.

u – отклонение частицы пр-ва от положения равновесия

Волновое уравнение (q=0, p =a 2 )

Упрощенный вариант гиперболического уравнения

если известны нач возмущения то известна начальная скорость

Какаято теорема

Пусть тогда

Основные понятия

Начальные условия – картина процесса в некоторый момент t.

Граничные условия – режим (описание процесса) на границе среды где происходит процесс.

Краевая задача мат физики – ДУ с заданными граничными и начальными условиями (Краевыми условиями).

Корректность.

Краевая задача должна удовлетворять условиям корректности:

1 Решение должно существовать в каком либо классе функций

2 Решение должно быть единственным

3 Решение должно непрерывно зависеть от начальных и граничных данных, от свободных членов, коэффициентов уравнения.

Данные определяются экспериментальным путем, т.е значения получают приближенные.

Решение задачи не должно существенно зависить от погрешности.

Вывод уравнений малых поперечных колебаний струны

Найти u(x, t). закон перемещения струны.

T(x, t) – сила натяжения струны в т х в момент времени t.

— величина постоянная.

-плотность

Закон Ньютона F=m*a,

Внешние силы : F(x,t) – плотность внешних сил действующих в т х в t

Читайте также:  Шлифовка очковых линз своими руками

-катет

По теореме о среднем

-достаточно мало =>

Аналогично выводим уравнение продольные колебания струны

S – площадь сечения E(x) – Модуль Юнга.

Последнее изменение этой страницы: 2017-01-23; Нарушение авторского права страницы

Пусть конечные точки струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия (например, оттянуть ее или ударить по ней), то струна начнет колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости.

Введем в этой плоскости систему прямоугольных координат хОu. Тогда, если в начальный момент времени струна располагалась вдоль оси Ох, то u будет означать отклонение струны от положения равновесия. В процессе колебания величина отклонения (u)будет зависеть от абсциссы точки струны (х)и от времени (t). Таким образом, чтобы знать положение любой точки струны в произвольный момент времени, надо найти зависимость u от х и t, т. е. найти функцию .

При каждом фиксированном значении t график функции представляет форму колеблющейся струны в момент времени t, частная производная даёт при этом угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х.

При изменении t форма струны, очевидно, изменяется, и, чтобы представить себе процесс колебаний, мы должны построить несколько графиков функции при различных значениях t, т. е. сделать несколько мгновенных снимков колеблющейся струны.

При постоянном значении х функция дает закон движения точки с абсциссой х вдоль прямой, параллельной оси Ou, производная – скорость этого движения, а вторая производная – ускорение.

Наша задача состоит в том, чтобы составить уравнение, которому должна удовлетворять функция . Для этого сделаем предварительно несколько упрощающих предположений. Будем считать струну абсолютно гибкой, т. е. не сопротивляющейся изгибу. Это означает, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону от какой-либо ее точки, то сила натяжения (Т), заменяющая действие удаленной части, всегда будет направлена по касательной к струне. Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука.

Изменение величины силы натяжения при этом пропорционально изменению длины струны. Примем, что струна однородна. Линейную плотность ее обозначим буквой ρ (ρ – масса единицы длины струны).

Предположим, далее, что на струну в плоскости колебания действуют силы, параллельные оси Оu, которые могут меняться вдоль струны и со временем. Силы эти будем считать непрерывно распределенными вдоль струны. Величину силы, направленной вверх, условимся считать положительной, а силы, направленной вниз – отрицательной. Плотность распределения этих сил вдоль струны является функцией абсциссы х и времени t; обозначим ее через . Если, в частности, единственной внешней силой является вес струны, то

где ρ – плотность струны, a g – ускорение силы тяжести. Силами сопротивления среды, в которой колеблется струна, мы пока пренебрегаем.

Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через острый угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой х в момент времени t, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной можно пренебрегать. Кроме того, так как α – малая величина, справедливы приближенные равенства:

Читайте также:  Установка виндовс 7 профессиональная 64 бит

Так как , то в силу полученных условий заключаем, что .

Отсюда сразу следует, что в процессе колебания мы можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина участка М1М2 (рис. 4.1, а) в момент времени t равна:

Покажем теперь, что при наших предположениях величину силы натяжения (Т)можно считать постоянной, не зависящей ни от точки ее приложения, ни от времени (t).

Согласно сделанным предположениям (4.12) заключаем, что T1 = T2. Так как точки М1 и М2 выбраны произвольно, то это и доказывает, что в данный момент времени силы натяжения во всех точках равны между собой.

Поскольку мы пренебрегаем изменением длины любого участка струны, то согласно закону Гука неизменным остается и натяжение струны. Итак, мы показали, что в пределах выбранной точности Т есть величина постоянная:

Перейдем теперь к выводу уравнения колебаний струны. Выделим бесконечно малый участок струны M1M2 (рис. 4.1, в), проектирующийся в интервал оси абсцисс. На него действуют силы натяжения Т1 и Т2, заменяющие влияние отброшенных частей струны. Как уже отмечалось, силы Т1 и Т2 направлены по касательным к струне в точках М1 и М2; величина этих сил равна T. Согласно равенству (4.14) сумма проекций сил Т1 и Т2 на ось Ох равна нулю. Вычислим сумму проекций этих же сил на ось Оu:

Здесь мы заменили частное приращение производной при переходе от аргументов к аргументам её частным дифференциалом, т.е. .

Равнодействующую внешних сил, приложенных к участку M1M2 в момент времени t, обозначим через F. Согласно определению функции и приближенному равенству (4.13) можно считать, что

Направление равнодействующей F определится знаком функции . Направление F (см. рис. 4.1, в) соответствует случаю .

После того как найдены все силы, действующие на участок M1M2, применим второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех действующих сил (в силу малости участка М1М2 мы рассматриваем его просто как материальную точку).

Так как масса участка M1M2 струны равна , то M1M2 = dx. Используя формулы (4.15) и (4.16), получим:

Сократив на dx и разделив все члены равенства на , приведем полученное уравнение к виду:

где – положительная постоянная величина.

В результате мы получили линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение (4.17) называется уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением. Это одно из простейших и в то же время важнейших дифференциальных уравнений математической физики.

Если , то уравнение (4.17) называется однородным; оно описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий. В противном случае уравнение называется неоднородным и описывает вынужденные колебания струны. Когда на струну действуют только силы тяжести, а натяжение струны (Т) велико, мы вправе пренебречь вторым слагаемым в правой части уравнения струны по сравнению с первым и рассматривать, таким образом, колебания струны как свободные.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector