Возведение логарифма в степень
Автор Евгений Добрицкий задал вопрос в разделе Естественные науки
При возведение в квадрат логарифма, X тоже возводится в квадрат или только логарифм? и получил лучший ответ
Ответ от Дивергент[гуру]
Деточка, ты спрашиваешь какую-то полную глупость. Возводится в квадрат значение логарифма. Ты понимаешь, что логарифм чего-то там по какому-то там основанию — это некое число? Так вот это самое некое число и возводится в квадрат! И больше в квадрат ничего не возводится!
Вот, например, логарифм 243 по основанию 3 равен 5. Потому что, чтобы получить 243, тройку надо возвести в пятую степень. Так вот квадрат этого логарифма равен 25.
Записала бы я это здесь так:
log^2(3)(243)=25
Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Как научиться решать логарифмы?
Объясним все человеческим языком. Логарифмы – ОЧЕНЬ простая тема.
Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется, понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).
Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).
Все. Больше ничего не нужно.
Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy — очень легкой 🙂
Что такое логарифм?
Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.
Начнем с простого. Как решить уравнение ?
Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число чтобы получить ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).
Следующий вопрос. Как решить уравнение ?
Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число , чтобы получить число ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное. Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм: . В общем виде он записывается так:
То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание , чтобы получить аргумент .
Вернёмся к . Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…
Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?
В нашем случае решение уравнения можно записать как или как .
Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».
Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.
Выражение можно также записать в виде . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».
Теперь более общая запись:
Читается так: «Логарифм по основанию от равен », и означает: «Чтобы получить число , нужно число возвести в степень »:
Иными словами, – это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .
Примеры вычисления логарифмов
- , так как число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить .
- Чему равен ? Заметим, что , тогда , то есть нужно возвести в степень , чтобы получить .
- А чему равен ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить как в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: . Значит, .
- Еще пример. Чему равен ? В какую степень надо возвести , чтобы получить ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит, . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен .
- . В этом случае аргумент равен корню основания: . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): .
Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:
Как возвести логарифм в квадрат, когда под знаком логарифма стоит произведение или частное? Как упростить квадрат логарифма степени?
Как возвести в квадрат логарифм произведения.
Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, квадрат логарифма произведения равен квадрату суммы логарифмов множителей:
0,a
e 1,x > 0,y > 0.]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>
Если изменить условия:
0,a
e 1,xy > o,]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>
то каждый из множителей под знаком логарифма нужно брать по модулю:
Как возвести в квадрат логарифм частного.
Так как логарифм частного равен разности логарифмов, то квадрат логарифма частного равен квадрату разности логарифмов делимого и делителя:
0,a
e 1,x > 0,y > 0.]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>
При изменении условий
0,a
e 1,frac
под знаком логарифма появляются модули:
Возведение в квадрат логарифма степени.
В логарифме степени показатель можно вынести за знак логарифма.
При возведении в квадрат логарифма степени показатель степени также следует возвести в квадрат:
0,a
e 1,x > 0.]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>
0,a
e 1,x
e 0,]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>
то при чётном показателе степени при вынесении показателя за знак логарифма под знаком логарифма появляется модуль:
Аналогично возводят в квадрат логарифм со степенью в основании:
0,a
e 1,x > 0;]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>
0,a
e 1,x
e 0.]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>
