Обозначения:
V — объем;
S полн — площадь полной поверхности;
S бок — площадь боковой поверхности;
S о — площадь основания;
P о — периметр основания;
P о — периметр перпендикулярного сечения;
l — длина ребра;
h — высота.
Формула Эйлера
N — число вершин , L — число ребер , F — число граней выпуклого многогранника.
Призма — многранник, две грани которого — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а остальные — параллелограммы.
Параллелепипед — призма, основание которой — параллелограмм.
Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.
Пирамида — многранник, у которого одна грань n -угольник — основание пирамиды, а остальные боковые грани — треугольники с общей вершиной — вершиной пирамиды.
где k — апофема
Если в пирамиде провести сечение параллельное основанию, то тело, ограниченное этим сечением, основанием, и заключенной между ними боковой поверхностью пирамиды, называется усеченной пирамидой.
где S 1 и S 2 — площади оснований
где α — двугранный угол при ребре нижнего основания.
Правильные многогранники
Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней.
Все ребра правильного многогранника — равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.
Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): правильный четырехгранник (правильный тетраэдр), правильный шестигранник (куб), правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (правильный додекаэдр), правильный двадцатигранник (правильный икосаэдр).
Обозначения:
а — длина ребра;
V — объем;
S бок — площадь боковой поверхности;
S полн — площадь полной поверхности;
R — радиус описанной сферы;
r — радиус вписанной сферы;
h — высота.
Тетраэдр — четыре грани — равносторонние равные треугольники. Тетраэдр имеет четыре вершины и шесть ребер
Куб — шесть граней — равные квадраты. Куб имеет восемь вершин и двенадцать ребер.
Октаэдр — восемь граней — равносторонние равные треугольники. Октаэдр имеет шесть вершин и двенадцать ребер
Додекаэдр — двенадцать граней — правильные равные пятиугольники. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер.
Икосаэдр — двадцать граней — равносторонние равные треугольники. Икосаэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ребер.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2, 3, 1 и двух площадей прямоугольников со сторонами 2, 1:
Почему вы вычитаете только 2 площади прямоугольников? их же там 4,верхняя и боковая еще. Поэтому площадь многогранника будет 15
Обратите внимание, что верхняя и боковая "достраиваются" до целого параллелепипеда из исходной фигуры.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 3, 5 и двух площадей квадратов со стороной 1:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 4, 5 и площади двух квадратов со стороной 1:
От площади параллелепипеда следует отнять площадь маленького параллелепипеда (5*2+2*1)
Александра, так надо поступать с объемами. С площадями иначе.
Боковая поверхность не изменилась по площади, она просто поменяла форму. А вот от оснований по маленькому квадрату "оттяпали"
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5:
Как я понимаю, 110 — это площадь поверхности параллелепипеда, но не многогранника. Разве не надо из этого числа вычесть площадь маленького параллелепипеда с ребрами 1, 2, 2?
Решение верно. Всмотритесь внимательно. Площадь поверхности имеющегося многогранника с вырезом равна площади поверхности целого параллелепипеда.
А разве не нужно добавить площадь двух прямоугольников со сторонами 1 и 2?
Но если найти площадь целого параллелепипеда 5*3*5=75, а из него вычесть площадь маленького вырезанного параллелепипеда 2*2*1=4. Т. е. 75-4=71. Разве не так?
Вы не доделали действие, просто нашли площадь поверхности параллелепипеда, которая равна 110. Из это площади нужно вычесть площадь поверхности маленького многогранника. Исправьте, пожалуйста, ответ.
Но ведь 110 это площадь параллелепипеда, а не многогранника. Как их площади могут быть равны? От параллелепипеда оторвали кусочек, и, по идее, получился другой многогранник, то есть площадь изменилась.
Представьте себе многогранник без выреза, и вы поймёте, что его площадь равна площади многогранника с вырезом.
В вопросе же надо найти площадь МНОГОГРАННИКА, а не всего параллелепипеда. Значит, логично было бы вычесть площадь маленького параллелепипеда.
Советуем разобраться в правильном решении и не допускать ошибок на экзамене.
110 — площадь параллепипеда! Найти площадь многогранника — вычесть 16. = 94. Показал этот пример заслуженной учительнице россии, с дипломом! она согласна с моим решением!
значит что-то не то с дипломом
извиняюсь ваше решение верно
хватит спорить, это решение верное
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 4:
Примечание для тех, кто не верит в это решение.
Посчитайте площадь поверхности, сложив площади всех девяти граней данного многогранника, и смиритесь:
Площадь поверхности многогранника. В данной рубрике в опубликованных статьях " Общий обзор. Формулы стереометрии " и " Что ещё необходимо знать для решения по стереометрии " мы уже рассмотрели теоретические моменты, которые необходимы для решения.
В составе ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления просты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.
В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку, всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.
Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.
Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначьте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Используем оговоренный способ. Он нагляден. На листе в клетку строим все элементы (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ещё задачи 25881 , 77155 , 77156 . В них приведены решения другим способом (без построения), постарайтесь разобраться — что откуда взялось. Также решите уже представленным способом.
Если требуется найти объём составного многогранника. Разбиваем многогранник на составляющие его параллелепипеды, записываем внимательно длины их рёбер и вычисляем.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Объем многогранника, изображенного на рисунке равен сумме объёмов двух многогранников с рёбрами 6,2,4 и 4,2,2
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Казалось бы, данные задачи можно вообще не рассматривать, они же просты и понятны. Но в их решении важна практика. Повторюсь, что ошибиться очень легко, попрактикуйтесь с подобными задачами и вы убедитесь.
В отк рытом банке задач много примеров аналогичных задач (смотрите здесь и здесь ). Договоритесь с одноклассниками решить одни и те же задачи, затем сверьтесь.
Мы продолжим рассматривать задачи данной части, не пропустите! Успехов вам.
